行列式的研究论文

行列式的研究论文

范德蒙行列式的国内外正处于研究中。行列式是一个重要的数学工具，它不仅有着悠久的历史，更具有广泛的应用.范德蒙行列式是数学家范德蒙在1772年提出的，作为一种特殊的行列式--范德蒙行列式不仅结构独特、形式优美，而且具有十分广泛的应用.正确的掌握使用范德蒙行列式解题可以达到事半功倍的效果，利用范德蒙行列式解题的本质在于化复杂为简单，化繁琐为简便然而要正确、适当的构造和应用范德蒙行列式去有效解决问题绝非易事.因此，本毕业论文从计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面较为系统的探讨了范德蒙行列式的应用，并对方法和技巧作了一点总结，希望帮助初学者更好的理解和掌握范德蒙行列式及其广泛的应用。

有没有关于行列式的性质及应用的自考论文

引言: 问题的提出
在实践中存在许多解n元一次方程组的问题，如
①
②
运用行列式可以解决如②的n元一次方程组的问题。
2
2.1排列定义1 由1.2……n组成的一个有序数组称为一个 级排列。n级排列的总数为
（n的阶乘个）。
定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。
2.2行列式
定义（设为n阶）：n阶行列式

是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由 项组成，其中带正号与带负号的项各占一半， 表示排列 的逆序数。
2.3 阶行列式具有的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.（ ）
事实上，若记 则

说明：行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行( )或两列( )，行列式变号.
例如
推论 若行列式 有两行（列）完全相同，则 .
证明: 互换相同的两行, 则有 , 所以 .
性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 ，等于数 乘以此行列式，即

推论：(1) 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；
(2) 中某一行(列)所有元素为零，则 ；
性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．
性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即
.
证: 由行列式定义

性质6 行列式 的某一行（列）的各元素都乘以同一数 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变 ，即

计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．
2.4行列式的计算
2.4.1数字型行列式的计算

1. 三角化法
例1 .
解： 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…， 列都加到第1列上，行列式不变，得

.

例2 .
解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．

2.
2．递推法
例3 计算行列式 之值。
解 把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式

继续使用这个递推公式，有
而初始值 ，所以
例4 计算 .
解：

.
, ,
,

3．数学归纳法
当 与 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。

例5 计算行列式 .
解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解
当 时，
假设 时，有

则当 时，把 按第一列展开，得

由此，对任意的正整数 ，有

4．公式法
例6 计算行列式 之值。
解 由于 ,故用行列式乘法公式，得

因 中， 系数是+1，所以 。
2.4.2行列式的概念与性质的例题

例7 已知 是6阶行列式中的一项，试确定 的值及此项所带的符号。
解 根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。因此，行指标
应取自1至6的排列，故 ，同理可知 。
直接计算行的逆序数与列的逆序数，有 。
亦知此项应带负号。
2.4.3抽象行列式的计算

例8 若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为 则行列式 （ ）。
解 由A～B，知B的特征值是 。那么 的特征值是2，3，4，5.于是 的特征值是1，2，3，4。有公式得， 。
2.4.4含参数行列式的计算

例9 已知 ，求 。
解 将第3行的-1倍加至第1行，有

所以 。
2.4.5关于 的证明

解题思路：
①设证法 ；
②反证法：如 从A可逆找矛盾；
③构造齐次方程组 ，设法证明它有非零解；
④设法证矩阵的秩 ；
⑤证明0是矩阵A的一个特征值。
2.4.6特殊行列式的解法

1 范德蒙行列式
定义：行列式 称为n级的范德蒙行列式。
例10 计算行列式 之值。
解 把1改写成 ，第一行成为两数之和， 可拆成两个行列式之和，即

分别记这两个行列式为 和 ，则由范德蒙行列式得，

故
2.4.7 拉普拉斯定理
设在行列式D中任意取定了 个行，由这 行元素所组成的一切 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 。
(其中：① 级子式：在一个 级行列式 中任意选定 行 列 。位于这些行和列的交点上的 个元素按照原来的次序组成一个 级行列式 ，称为行列式 的一个 级子式。②余子式：在 中划去这 行 列后余下的元素按照原来的次序组成的 级行列式 称为 级子式 的余子式。③代数余子式：设 的 级子式 在 中所在的行、列指标分别是 则 的余子式 前面加上符号 后称为 的代数余子式)。
例11 求行列式 。
解：在行列式 中取定第一、二行，得到六个子式：

它们对应的代数余子式为

根据拉普拉斯定理

3 结束语
老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘，严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作。
感谢我的老师对我的关心、指导和教诲！
感谢我的学友和朋友对我的关心和帮助

求一篇线性代数的论文！！大一学生看的！！

线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下 , 可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。
线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易.
一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多，重要的有：
代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
我们不仅要准确把握住概念的内涵，也要注意相关概念之间的区别与联系。
线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：
行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。
二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。
线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。
例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有
r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n

进而可求矩阵A或B中的一些参数
上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。
三、注重逻辑性与叙述表述
线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

求高等代数的课程论文题目

课程论文选题参考
1.《高等代数》课程学习感悟
2.《高等代数》中的。。。。思想
3.《高等代数》中的。。。。方法
4.高等代数与解析几何的关联性
5.高等代数有关理论的等价命题
6.高等代数有关理论的几何描述
7.高等代数有关理论的应用实例
8.高等代数知识在有关课程学习中的应用
9.数学软件在高等代数学习中的应用
10.应用高等代数知识的数学建模案例
11.高等代数理论在金融中的应用
12.反例在高等代数中的应用
13.行列式理论的应用性研究
14.一些特殊行列式的应用
15.行列式计算方法综述
16.范德蒙行列式的一些应用
17.线性方程组的应用；
18.线性方程组的推广——从向量到矩阵
19.关于向量组的极大无关组
20.向量组线性相关与线性无关的判别方法
21.线性方程组求解方法综述
22.求解线性方程组的直接法与迭代法
23.向量的应用
24.矩阵多项式的性质及应用
25.矩阵可逆的若干判别方法
26.矩阵秩的不等式的讨论(应用)
27.关于矩阵的伴随矩阵
28.矩阵运算在经济中的应用
29.关于分块矩阵
30.分块矩阵的初等变换及应用
31.矩阵初等变换及应用
32.矩阵变换的几何特征
33.二次型正定性及应用
34.二次型的化简及应用
35.化二次型为标准型的方法
36.矩阵对角化的应用
37.矩阵标准形的思想及应用
38.矩阵在各种变换下的不变量及其应用
39.线性变换的应用
40.特征值与特征向量的应用
41.关于线性变换的若干问题
42.关于欧氏空间的若干问题
43.矩阵等价、合同、相似的关联性及应用
44.线性变换的命题与矩阵命题的相互转换问题
45.线性空间与欧氏空间
46.初等行变换在向量空间Pn中的应用
47.哈密顿-凯莱定理及其应用
48.施密特正交化方法的几何意义及其应用
49.不变子空间与若当标准型之间的关系
50.多项式不可约的判别方法及应用
51.二次型的矩阵性质与应用
52.分块矩阵及其应用
53.欧氏空间中的正交变换及其几何应用
54.对称矩阵的性质与应用
55.求两个子空间的交与和的维数和一个基的方法
56.关于n维欧氏空间子空间的正交补
57.求若当标准形的几种方法
58.相似矩阵的若干应用
59.矩阵相似的若干判定方法
60.正交矩阵的若干性质
61.实对称矩阵正定性的若干等价条件
62.欧氏空间中正交问题的探讨
63.矩阵特征根及其在解题中的应用
64.矩阵的特征值与特征向量的应用
65.行列式在代数与几何中的简单应用
66.欧氏空间内积不等式的应用
67.求标准正交基的若干方法研究
68.高等代数理论在经济学中的应用
69.矩阵中的最小二乘法
70.常见线性空间与欧式空间的基与标准正交基的求法