浅析条件概率
发布时间：2015-12-13 10:57
摘要：条件概率是概率论基础知识中的一个基本概念,是积事件概率和全概率公式的基础,但这一概念往往不被学生所重视,以至于影响到后面的教学效果。本文就这一概念教学进行了初步研究,并给出条件概率p（a/b）中,当p（b）=0时的一些有趣结论，旨在开阔学生的视野。
关键词：条件概率；概率；随机试验；事件；抽签
在多年的概率论教学过程中,笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率、全概率公式等概念,特别是在求解有关问题时,往往无处着手,出现思维障碍,从而影响了学生的学习积极性。究其原因，基本上是对条件概率概念没有很好地理解;在教学过程中，教师也没有引起重视,一笔带过,而把重点放在全概率公式上,学生处于被动的学习状态。笔者拟就这一问题的教学作如下研究。
首先，有必要弄清楚p（a/b），p（ab），p（a）这三者之间的区别与联系。
一是条件概率p（a/b）与概率p（a）的区别。
每一个随机试验都是在一定条件下进行的。设a是随机试验的一个事件，则p（a）是在一定条件下事件a发生的可能性的大小。而条件概率p（a/b）是指在原条件下又添加“事件b发生”这个条件时，事件a发生的可能性大小，即p（a/b）仍是概率，p（a）与p（a/b）的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概率，在数值上一般也不相等。（注：“事件b发生”特指读者已经知道事件b发生，而实际上事件b往往在事件a发生之前发生，但也可以在事件a发生之后发生，如例1中求p（a1/a2a3），只是读者还不知道事件a已发生，用p（a/b）来估计事件a发生可能性的大小。
例1：5个签中的2个是“有”，3个是“无”，无放回地顺次抽取，每人抽一个，用ai表示第i个人抽到“有”这一事件，则p（a2）===，p（a2/a1）=。
二是条件概率p（a/b）与概率p（a）的数量关系。
条件概率p（a/b）是在原随机试验条件下又添加“事件b发生”这个条件时事件a发生的可能性大小，是否一定有p（a/b）≥p（a）呢？
1.当a、b互不相容时，a发生时b不发生，则p（a/b）=0≤p（a）；
2.当a?奂b时，p（ab）=p（a），p（a/b）==≥p（a）；
3.当a、b既不是互不相容，又不是包含关系时，因p（a/b）=，大于、等于、小于p（a）三种可能都有，如p（a）=0.5,p（b）=0.4,当p（ab）=0.30时，p（a/b）=0.75>p（a）；当p（ab）=0.20时，p（a/b）=0.5=p（a）;当p（ab）=0.10时，p（a/b）=0.25 三是条件概率p（a/b）与积事件的概率p（ab）的区别。
这两个概念从形式上看是容易区分的，但对于初学者来说很容易混淆，有必要强调一下。条件概率p（a/b）是指事件b发生这个条件下事件a发生的概率，而p（ab）是指a、b同时发生的概率。因而“事件b发生”在p（a/b）中是作为条件，而p（ab）中是作为结果，所以两者不相同。
例2：某班有男学生40人，女学生20人，通过英语六级者有15人，其中有女学生10人。在该班级中任意抽取一人，分别计算：
1.求所取的学生为女学生并且已通过英语六级的概率；
2.已知所取的学生为女学生，求其通过英语六级的概率。
解：设a=｛所取的学生已通过英语六级｝，b=｛女学生｝，则（1）为求事件a、b的积事件的概率p（ab）==；（2）为求在事件b发生条件下事件a发生的条件概率p（a/b）==。
其次，要深刻理解当p（b）>0时,条件概率公式p（a/b）=的意义。
一是要从理论上推出该公式非常困难，但从事件a、b的文氏图可直观地解释一下该公式，把p（a）看成为a的面积与必然事件ω的面积的比值，那么，p（a/b）为在b发生条件下a发生的概率，可理解为ab的面积与b的面积的比值，分别除以ω面积，即得条件概率公式p（a/b）=，可以让学生从心理上接受它并加深印象，而公式本身已证明是成立的，只要加以说明就行，这样可起到降低难度的作用。公式给出了计算条件概率的一种方法。
例3：某种品牌的彩色电视机使用寿命10年的概率为0.9,而使用寿命15年的概率为0.5,试求某台电视机已经使用10年的情况下，能再使用5年的概率。
解:设b=｛电视机使用寿命10年｝，a=｛电视机使用寿命15年｝，则p（a）=0.5，p（b）=0.9因为a发生必然导致b发生，即b?劢a，p（ab）=p（a）=0.5，p（a/b）===。
二是该公式的作用不仅仅用来计算条件概率，而且条件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用来计算积事件ab的概率，p（ab）=p（b）p（a/b）这就是我们所说的乘法公式。
例4：在例1中，计算p（a1a2）=p（a1）p（a2/a1）=×=，p（a2）=p（a1a2+a1a2）=p（a1）p（a2/a1）+p（a1）p（a2/a1）=×+×=，同理可得p（a3）=p（a4）=p（a5）=，这道题目的解答也说明了这样一个问题：无放回抽签不分先后，各个人抽到好签的可能性是一样的，不必为轮到后面而不高兴，关键的问题是操作规则要公正。也许会问前面的人好签抽走了，最后面的人还会有吗？那么要是前面的人没有全部抽走好签，最后面的人不是肯定能抽到好签吗？以上两种情况都属于条件概率。
如果没有这个乘法公式，计算p（a1a2）难度就大得多了，得考虑两个“好签”给5个人中的两个人抓到共有几种方法？是用排列数计算呢，还是用组合数计算呢？每种方法是否等可能的？要仔细分析一下，最后得：p（a1a2）===。
再次，条件概率公式为全概率公式的计算奠定了基础，从而解决了事件概率的计算问题。
一般教材都给出条件概率p（a/b）中p（b）必须大于0，那么当p（b）=0时，p（a/b）是否有意义呢？
显然条件概率公式是不能用了，当a、b所在的事件空间 ω中的基本事件个数为有限个时，由p（b）=0，可得b所包含的有利事件个数为0个，由p（a/b）的含义得a的有利事件个数也为0个，所以，这时规定p（a/b）=0较妥当。而当ω为无限集时，情况比较复杂。现举例如下：
当a、b所代表的事件互不影响时（具体情况时容易判断的），规定p（a/b）=p（a）；当b?奂a时，b发生可推出a发生，这时p（a/b）=1；当a、b是互斥事件时，b发生时，推出a不发生，得p（a/b）=0；当b为不可能事件时，讨论p（a/b）实际上是无意义的，在不可能事件b发生条件下a发生的概率，这句话本身就是相悖的，但为统一起来，可定义p（a/b）=0；当a、b是互不包含事件时，情况比较怎复杂，视具体情况而定。
例5：质点m随机地均等抛掷到﹝-1，+1﹞区间上，记a=｛质点落在﹝0，1﹞区间上｝，b=｛质点恰好落在点处｝，b1=｛质点落在-1，0，，1这四点处｝，b2=｛质点落在﹝0，1﹞区间上的有理数点处｝，则p（a/b）=1，p（b/b1）=，p（b1/b2）=0。
参考文献：
[1]杨义群.初等概率教学中定义条件概率的二个问题探讨[j].教学与研究（中学数学）,1984,（4）:3.
[2]谢国瑞.概率论与数理统计[m].北京:高等教育出版社, 2002.
[3]王潘玲.应用高等数学[m].杭州:浙江科学技术出版社,2004.
[4]曹之江.现代数学优教原理探索[j].数学教育学报,2004,（2）:1-2.
关键词：条件概率；概率；随机试验；事件；抽签
在多年的概率论教学过程中,笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率、全概率公式等概念,特别是在求解有关问题时,往往无处着手,出现思维障碍,从而影响了学生的学习积极性。究其原因，基本上是对条件概率概念没有很好地理解;在教学过程中，教师也没有引起重视,一笔带过,而把重点放在全概率公式上,学生处于被动的学习状态。笔者拟就这一问题的教学作如下研究。
首先，有必要弄清楚p（a/b），p（ab），p（a）这三者之间的区别与联系。
一是条件概率p（a/b）与概率p（a）的区别。
每一个随机试验都是在一定条件下进行的。设a是随机试验的一个事件，则p（a）是在一定条件下事件a发生的可能性的大小。而条件概率p（a/b）是指在原条件下又添加“事件b发生”这个条件时，事件a发生的可能性大小，即p（a/b）仍是概率，p（a）与p（a/b）的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概率，在数值上一般也不相等。（注：“事件b发生”特指读者已经知道事件b发生，而实际上事件b往往在事件a发生之前发生，但也可以在事件a发生之后发生，如例1中求p（a1/a2a3），只是读者还不知道事件a已发生，用p（a/b）来估计事件a发生可能性的大小。
例1：5个签中的2个是“有”，3个是“无”，无放回地顺次抽取，每人抽一个，用ai表示第i个人抽到“有”这一事件，则p（a2）===，p（a2/a1）=。
二是条件概率p（a/b）与概率p（a）的数量关系。
条件概率p（a/b）是在原随机试验条件下又添加“事件b发生”这个条件时事件a发生的可能性大小，是否一定有p（a/b）≥p（a）呢？
1.当a、b互不相容时，a发生时b不发生，则p（a/b）=0≤p（a）；
2.当a?奂b时，p（ab）=p（a），p（a/b）==≥p（a）；
3.当a、b既不是互不相容，又不是包含关系时，因p（a/b）=，大于、等于、小于p（a）三种可能都有，如p（a）=0.5,p（b）=0.4,当p（ab）=0.30时，p（a/b）=0.75>p（a）；当p（ab）=0.20时，p（a/b）=0.5=p（a）;当p（ab）=0.10时，p（a/b）=0.25 三是条件概率p（a/b）与积事件的概率p（ab）的区别。
这两个概念从形式上看是容易区分的，但对于初学者来说很容易混淆，有必要强调一下。条件概率p（a/b）是指事件b发生这个条件下事件a发生的概率，而p（ab）是指a、b同时发生的概率。因而“事件b发生”在p（a/b）中是作为条件，而p（ab）中是作为结果，所以两者不相同。
例2：某班有男学生40人，女学生20人，通过英语六级者有15人，其中有女学生10人。在该班级中任意抽取一人，分别计算：
1.求所取的学生为女学生并且已通过英语六级的概率；
2.已知所取的学生为女学生，求其通过英语六级的概率。
解：设a=｛所取的学生已通过英语六级｝，b=｛女学生｝，则（1）为求事件a、b的积事件的概率p（ab）==；（2）为求在事件b发生条件下事件a发生的条件概率p（a/b）==。
其次，要深刻理解当p（b）>0时,条件概率公式p（a/b）=的意义。
一是要从理论上推出该公式非常困难，但从事件a、b的文氏图可直观地解释一下该公式，把p（a）看成为a的面积与必然事件ω的面积的比值，那么，p（a/b）为在b发生条件下a发生的概率，可理解为ab的面积与b的面积的比值，分别除以ω面积，即得条件概率公式p（a/b）=，可以让学生从心理上接受它并加深印象，而公式本身已证明是成立的，只要加以说明就行，这样可起到降低难度的作用。公式给出了计算条件概率的一种方法。
例3：某种品牌的彩色电视机使用寿命10年的概率为0.9,而使用寿命15年的概率为0.5,试求某台电视机已经使用10年的情况下，能再使用5年的概率。
解:设b=｛电视机使用寿命10年｝，a=｛电视机使用寿命15年｝，则p（a）=0.5，p（b）=0.9因为a发生必然导致b发生，即b?劢a，p（ab）=p（a）=0.5，p（a/b）===。
二是该公式的作用不仅仅用来计算条件概率，而且条件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用来计算积事件ab的概率，p（ab）=p（b）p（a/b）这就是我们所说的乘法公式。
例4：在例1中，计算p（a1a2）=p（a1）p（a2/a1）=×=，p（a2）=p（a1a2+a1a2）=p（a1）p（a2/a1）+p（a1）p（a2/a1）=×+×=，同理可得p（a3）=p（a4）=p（a5）=，这道题目的解答也说明了这样一个问题：无放回抽签不分先后，各个人抽到好签的可能性是一样的，不必为轮到后面而不高兴，关键的问题是操作规则要公正。也许会问前面的人好签抽走了，最后面的人还会有吗？那么要是前面的人没有全部抽走好签，最后面的人不是肯定能抽到好签吗？以上两种情况都属于条件概率。
如果没有这个乘法公式，计算p（a1a2）难度就大得多了，得考虑两个“好签”给5个人中的两个人抓到共有几种方法？是用排列数计算呢，还是用组合数计算呢？每种方法是否等可能的？要仔细分析一下，最后得：p（a1a2）===。
再次，条件概率公式为全概率公式的计算奠定了基础，从而解决了事件概率的计算问题。
一般教材都给出条件概率p（a/b）中p（b）必须大于0，那么当p（b）=0时，p（a/b）是否有意义呢？
显然条件概率公式是不能用了，当a、b所在的事件空间 ω中的基本事件个数为有限个时，由p（b）=0，可得b所包含的有利事件个数为0个，由p（a/b）的含义得a的有利事件个数也为0个，所以，这时规定p（a/b）=0较妥当。而当ω为无限集时，情况比较复杂。现举例如下：
当a、b所代表的事件互不影响时（具体情况时容易判断的），规定p（a/b）=p（a）；当b?奂a时，b发生可推出a发生，这时p（a/b）=1；当a、b是互斥事件时，b发生时，推出a不发生，得p（a/b）=0；当b为不可能事件时，讨论p（a/b）实际上是无意义的，在不可能事件b发生条件下a发生的概率，这句话本身就是相悖的，但为统一起来，可定义p（a/b）=0；当a、b是互不包含事件时，情况比较怎复杂，视具体情况而定。
例5：质点m随机地均等抛掷到﹝-1，+1﹞区间上，记a=｛质点落在﹝0，1﹞区间上｝，b=｛质点恰好落在点处｝，b1=｛质点落在-1，0，，1这四点处｝，b2=｛质点落在﹝0，1﹞区间上的有理数点处｝，则p（a/b）=1，p（b/b1）=，p（b1/b2）=0。
参考文献：
[1]杨义群.初等概率教学中定义条件概率的二个问题探讨[j].教学与研究（中学数学）,1984,（4）:3.
[2]谢国瑞.概率论与数理统计[m].北京:高等教育出版社, 2002.
[3]王潘玲.应用高等数学[m].杭州:浙江科学技术出版社,2004.
[4]曹之江.现代数学优教原理探索[j].数学教育学报,2004,（2）:1-2.
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