用数学方法计算摇骰子游戏中的“鱼、虾、蟹”

一、游戏背景

有这样的一种赌博游戏：一颗正六面体骰子每个面分别印有鱼、虾、蟹、公鸡、金钱、葫芦六种图案，共有三颗这样骰子。游戏规则如下：

假如你下注买了“鱼”，骰子摇均匀后打开，有下面四种情况出现：（1）若没有骰子中，则庄家赢了你的赌注；（2）若有一颗骰子中，则庄家赔你1倍的赔率；（3）若有两颗骰子中，则庄家赔你2倍的赔率；（4）若三颗骰子都中，则庄家赔你3倍的赔率。买其它图案的赔率跟上面的情况一样。

二、问题的提出

如果长时间玩这个游戏，最后的赢家总是庄家，输家总是买家。不是因为庄家的运气好而买家的运气差，用数学的办法分析，答案只有一种，就是庄家赢的概率比买家大，游戏不公平。那么庄家和买家他们赢的概率各是多少？接下来通过两种分析方法来解决这个疑问。

三、赔率计算方法

（一）方法1：利用排列组合的知识分析赔率

游戏设定：某人下注买了“1”这一面，下面通过组合、方程两种方法来分析，计算赔率情况。

为了方便画树状图，把骰子的六个面进行注明：

1——代表“鱼”面，2——代表“虾”面，——代表“蟹”面，4——代表“公鸡”面，5——代表“金钱”面，6——代表“葫芦”面

三颗骰子同时抛出一共有216种排列结果，可将这些结果分成以下四类：（1）没有“1”的结果有：P51×P51×P51=125（种）；（2）有一个“1”的结果有：C31×C51×P51=75（种）；（3）有两个“1”的结果有：C32×P51=15（种）；（4）有三个“1”的结果有：C33=1（种）。因此，出现“1”的面共有：75×1+15×2+1×3=108（面）。

错误解答：很多人会直接把108和216两个数一起比较，认为■=■=50%，所以这个游戏庄家和买家赢的概率都为50%，游戏公平。

正确解答：一定要注意这个游戏中输的次数，在上面游戏中没有出现“1”面朝上的结果有 125种，庄家赢的概率为：■=■，买家赢的概率为：■=■，因此，庄家赢的概率比买家要大。游戏不公平，那么怎样在这个游戏中通过改变赔率，从而使游戏变得公平？可以通过构建方程来分析。

设中一个“1”赔率为a，中两个“1”赔率为b，中三个“1”赔率为c。得方程：75×a+15×b+ 1×c=125 。因为是一个三元一次方程，所以只能用推理的方法来分析：

a不能是2或以上的数，只能是1，所以“一赔一”合理；

当a=1，则b的取值范围是2

c=125-75×1-15×3=5，所以应改为“一赔五”的赔率。

从而有：75× 1 +15× 3 +1× 5 =125

因此，要使这个游戏公平，规则如下：（1）买中一个面有1倍的赔率；（2）买中两个面有3倍的赔率；（3）买中三个面有5倍的赔率。

（二）方法2：利用三元一次方程组分析赔率

方法1只能列出一个三元一次方程，用解方程的方法根本解不了未知数a、b、c。如果能够列出三个这样的三元一次方程，组成方程组，则就可以精确解出未知数a、b、c的值。

因为每颗骰子中出现“1”这个面朝上的概率均为：P（1朝上）=■，那么三颗骰子同时抛出去，出现“1”的面朝上的累计概率为：■+■+■=■，即做10次投三颗骰子的试验中，理论上会有累计5个面出现“1”朝上。现在通过三组模拟实验的数据统计，来列出相应的方程。

设出现一个“1”赔率为a，出现两个“1”赔率为b，出现出现三个“1”赔率为c。

把方程①②③组成方程组，

得8a+2b+1c=1911a+4b+2c=3330a+7b+2c=61 解得a=1b=3c=5

因此，要使这个游戏公平，规则如下：（1）中一个面有1倍的赔率；（2）中两个面有3倍的赔率；（3）中三个面有5倍的赔率。

四、游戏的拓展与猜想

（一）游戏的拓展——四颗八面体的骰子

三颗六面体的骰子同时抛出去，出现“1”的面朝上的累计概率为：3×■=■。那么如果四颗八面体的骰子同时抛出去，出现“1”的面朝上的累计概率也应该为：4×■=■。四颗八面体的骰子同时抛出一共有84=4096种排列结果，可将这些结果分成以下五类：（1）没有“1”：P71×P71×P71×P71=2401（种）； （2）有一个“1”：C41×P71×P71×P71=1372（种）；（3）有两个“1”：C42×P71×P71=294（种）；（4）有三个“1”：C43×P71=28（种）；（5）有四个“1”：C44=1（种）。

设出现一个、两个、三个、四个“1”朝上的赔率分别为：a、b、c、d。得方程：1372×a+294×b+ 28×c+ 1d×=2401。

现通过四组模拟实验数据统计（见52页表格）列出相应的方程。

把方程①②③④组成方程组，得10a+4b+c+d=3424a+8b+2c+d=6532a+10b+5c+2d=10134a+15b+8c+3d=140 解得a=1b=3c=5d=7

因此，四颗八面体的骰子同时抛出时，要使这个游戏公平，规则如下：（1）中一个面有1倍的赔率；（2）中两个面有3倍的赔率；（3）中三个面有5倍的赔率；（4）中四个面有7倍的赔率。

（二）游戏的猜想

结合两个游戏的赔率分析：

1. 三颗六面体的骰子游戏赔率情况：（1）中一个面有1倍的赔率；（2）中两个面有3倍的赔率；（3）中三个面有5倍的赔率。

2. 四颗八面体的骰子游戏赔率情况：（1）中一个面有1倍的赔率；（2）中两个面有3倍的赔率；（3）中三个面有5倍的赔率；（4）中四个面有7倍的赔率。

可以得出这样的一个猜想：

n颗2n面体的骰子游戏赔率情况应该是：（1）中一个面有1倍的赔率；（ 2）中两个面有3倍的赔率；（3）中三个面有5倍的赔率；（4）中四个面有7倍的赔率 …… （n）中n个面有（2n-1）倍的赔率。

由上面的猜想可以得出两条这样的等式：

■C■×（P■）n-1×1+C■×（P■）n-2×3+C■×（P■）n-3×5+…+C■×（P■）0×（2n-1）=（P■）n 或C■×（2n-1）n-1×1+C■×（2n-1） n-2×3+C■×（2n-1）n-3×5+…+C■×（2n-1）0×（2n-1）=（2n-1）n

由于能力有限还未能求证，希望有能力的读者能证明出来！

五、游戏的变式——赔率的改变

在四颗八面体的骰子中，要4个面都相同的概率为：■=■，概率非常低，而上面的游戏设定4个面相同的赔率只有7倍，很显然这个游戏不够吸引。但买中1个面的机会是比较大的，概率为：■，因此，可以把买中1个面的赔率转移到中2个面、中3个面和中4个面的赔率上。

可令方程1372a+294b+28c+1d=2401 中的a=0，变成一个新的方程：294b+ 28c+ 1d=2401。

虽然一个三元一次方程有无数个解，但恰恰因为它有这么多的解，所以可以使赔率灵活变动。

例如：

令b=4，c=20，d=665，代入方程：294b+ 28c+ 1d=2401。

方程左边：294×4+ 28×20+ 1×665=1176+560+665=2401，与方程右边相等。

所以可以设计这样的赔率：（1）买中一个面有0倍赔率（不赔不输）；（2）买中两个面有4倍的赔率；（3）买中三个面有20倍的赔率；（4）买中四个面有665倍的赔率。

这样的游戏设计，有了很高的赔率，看起来就比较吸引人。

六、教育意义

通过中学学过的数学知识计算出摇骰子“鱼、虾、蟹”的游戏赔率情况后，知道了庄家赢的原因在哪里、赢的概率是多少，也说明了在生活中处处有数学，很多神秘的东西其实都可以利用数学的方法及原理来解析。

赌场上的每一种赌博游戏的设计都是不公平的，处处存在着隐性的欺诈，庄家赢你的概率永远比你大，所以千万不要有想靠赌博挣大钱的想法，长期沉迷只会落得倾家荡产的结果。要教育学生远离赌博，踏实做人，努力学习才是正道。