傅氏变换中的问题探究

摘　要：求解函数的傅里叶变换是分析信号与线性系统输入与输出关系的主要手段之一，灵活地运用傅氏变换对线性网络进行频域分析具有重要的作用。本文首先分析了傅氏变换的实质以及其具有的物理意义，然后就傅氏变换的求解过程中经常出现的问题给与了详细解释。使得我们在以后的求解过程终能有效地避开关于冲击项的讨论，以简化求解过程。

关键词：傅里叶变换；冲击函数；微分特性；积分特性
1 引言

　　在现代数学中，傅里叶变换有着广泛的应用，无论是在声学、数字信号处理方面还是在生物医学工程甚至核科学的研究上无不发挥着重要的作用，因此正确的求解傅氏变换是科研工作人员所必须具有的基本素质之一。而我们在学习傅氏变换的过程中，有非常容易丢掉一些关于冲击项的傅氏变换部分，这就使我们不得不寻找一些方法来避免这些成分的丢失。

2 傅氏变换理论

2.1 傅氏变换的实质

    对于一些周期函数我们要进行频谱分析时，常利用傅氏级数对其进行展开，展开公式为： 

　　其中。

很明显，周期函数的频谱特性是离散的。而对于非周期信号来讲，可将其周期看做是无穷大，这样频谱相邻谱线间的间隔将无限趋小，谱线无限密集，这也就意味着其频谱特性是连续的。同时，由于周期无限趋大，复振幅亦无限趋小。于是等式两边同乘以，以显示出各频率分量的振幅差异。这也就是我们所定义的傅里叶变换。即：



　　从上式我们也可以看出具有单位频带振幅的性质。故傅里叶变换实则为的频谱密度函数。这时我们再讨论直流分量的傅里叶变换就不显得那么困难了，从物理意义上来讲直流分量的频率不存在即为0，那么直流分量的振幅就全部降落在0或者从极限的角度讲为，降落在趋近于零的一个非常狭小的区间上，用振幅比上这样一个狭小的频带，可想而知其结果就是一个在零点的冲击。当然，我们在数学演算时，还要添加一个系数。即：。

2.2傅里叶变换的重要性质

2.2.1微分特性

　　如果在上连续或只有有限个可去间断点，且，则



　　

　　推广式：                             

需要指出的是，此微分性质只是充分的，并不能利用它进行傅里叶变换的反向求解。

2.2.2积分特性

　　若，则

　　

　　例1的错误原因是由于没有考虑到微分性质的非必要性。因而遗漏了冲击项，而此时我们利用上面所给的积分性质，并考虑到

可以看到此种解法是正确的。随着我们学习的深入，逐渐会发现该积分特性仍存在不少缺陷，他只能够求得某种特定的函数的傅里叶变换，对于一般的函数仍不适用。g1（t），故由导数的频谱只可直接求得。，则需要计及积分常数的影响，故需寻求统一的公式来完成这类函数求解。

因为

　　

两边取傅氏变换



而 

             

于是得通式



根据上式，依次可求得：



3 结论

　　由以上分析可知，当函数无直流分量时，可以利用微分性质加“冲击法”来求解其傅氏变换，其结果是正确的，但过程仍是错误的。如果有直流分量，则傅氏变换后结果中必有冲击，这时可利用上面通式进行求解。以保证结果不缺少冲击项。在电子线路中，如果计算中丢失冲击项，就相当于计算中丢失了直流分量，会对结果造成很大误差，应予以避免。



参考文献：

[1] 张炎生、周珏《“冲击法""在求函数傅氏变换中的应用》  1996

[2] 徐小蓉 《傅里叶变换及其应用》 教育在线 2009

[3] 张祥芝等  工程数学教程  中国矿业大学出版社  2008