基于ARIMA模型的全国社会消费品零售总额的统计分

　　一、模型介绍
　　模型结构一个序列{Xt}经过d阶差分后成为平稳序列，而且能利用ARMA模型对差分后的平稳序列建模，则称序列{Xt}的模型结构为求和移动平均模型（auto regressive integrated moving），简称ARMA（p，d，q），其中d为差分阶数，p为回归阶数，q为移动平均阶数，模型的具体表达式为：
　　二、全国社会消费品零售总额的实证分析
　　（一）数据来源及统计特征
　　本文选取2004年1月至2012年3月全国社会消费品的月度数据。绘制全国社会消费品的月度数据（记为序列ww）柱状图，图3.1显示序列ww的均值为8880.74，中位数为8202.5，标准差为3605.195，样本偏度为0.536612，样本峰度为2.203222，J-B统计量为7.146667，相伴概率为0.028062，因此可以拒绝序列ww为正态分布的原假设。
　　图1 时间序列ww的统计柱状图
　　随后检验序列ww的稳定性，在SPSS中对季节差分序列进行游程检验（以数据的平均值划分），检验结果显示|ww|=9.066>1.96，所以序列ww具有季节性，是非平稳序列。
　　（二）序列的平稳性处理
　　为了消除序列ww的趋势性，对序列ww做一阶差分得到序列ww1。选择无截距项和趋势项的模型对ww1进行单位根检验。检验t统计量的值是-1.753338，小于各个显著性水平下的临界值，所以拒绝ww1不存在单位根的原假设。也就是说，序列ww1存在单位根，因此，序列ww1是非平稳的，序列ww的趋势性没有彻底消除。
　　为进一步消除趋势性，对序列ww1做二阶差分得到序列ww2，然后选择无截距项和趋势项对ww2进行单位根检验，检验结果显示：t统计量的值是-11.71001，大于各个显著性水平下的临界值，所以接受ww2不存在单位根的原假设。也就是说，序列ww2不存在单位根，因此，序列ww的趋势性已经消除。
　　但是，当滞后期k=12时，序列ww2的自相关系数是0.680，与0有显著差异，当滞后期k=24是，序列ww2的样本自相关系数也较大为0.614。表明序列具有周期为12个月的季节波动。因此，对差分序列ww2进行长度为12的季节差分：ww3（t）=ww2（t）-ww2（t-12），得到ww3（t）。
　　对序列ww3的稳定性进行检验，检验结果显示|ww2|= 2.332>1.96，所以接受原假设，也就是说序列ww3仍然是不平稳序列。当k=12和k=24时，样本的相关系数偏大，这说明序列经过季节差分之后仍然具有季节性。
　　（三）序列ww3的零均值检验
　　图2 序列的特征分析
　　图2显示：ww3的均值为1.50122，可以接受均值为0的假设，表明序列ww3为零均值序列，所以对序列ww3建立成绩季节模型。
　　（四）模型的识别与初步定阶
　　序列ww2长度为12的一阶季节差分后，仍具有季节效应，存在季节AR算子U（BS）及季节MA算子V（BS），所以建立ARIMA（p，1，q）×（1，1，1）12模型。
　　根据Box-Jenkins建模思想，可以通过模型ARIMA（3，2，1）×（1，1，1）、ARIMA（3，2，1）×（1，1，0）、ARIMA（3，2，1）×（0，1，1）、ARIMA（2，2，1）×（1，1，1）、ARIMA（2，2，1）×（1，1，0）、ARIMA（2，2，1）×（0，1，1）、ARIMA（3，2，2）×（1，1，1）、ARIMA（3，2，2）×（1，1，0）和模型ARIMA（3，2，2）×（0，1，1）这9种模型对序列进行拟合。
　　（五）参数估计和模型的选择
　　结合九种模型的AIC值和剩余平方和的大小来看，模型，ARIMA（2，2，1）×（0，1，1）拟合效果较好。
　　表1 模型的参数
　　从相伴概率来看，ARIMA（3，2，1）×（1，1，1）中的ψ3ν1都不能通过显著性水平为0.05的假设检验，因而接受值为零的原假设。应将这几个系数对应的变量剔除，重新进行回归分析。
　　改进后的模型为ARIMA（2，2，1）×（1，1，0），模型所有系数的相伴概率都基本为零，可以拒绝值为零的原假设。记ARIMA（2，2，1）×（0，1，1）的剩余平方和为A0，模型ARIMA（2，2，1）×（1，1，0）的剩余平方和为A1，用F统计量来考查两种模型之间是否具有存在明显差异。
　　F0.05（4，77）=2.5787，显然F1　　（六）模型的适应性检验
　　检验结果显示：t统计量的相伴概率几乎为零，在各置信度水平下都可以拒绝原假设，由此认为ARIMA（2，2，1）×（0，1，1）模型充分拟合了原时间序列。
　　三、模型的预测
　　下面利用建立的差分方程模型，利用差分方程的预测方法对全国客运量的变化情况进行预测。对于上面已经建立的模型可以转化为：
　　向前做3步预测，这里，l=3，p=27，q=13。预测结果如下表：
　　四、结论
　　社会消费品零售总额是研究居民生活水平、社会零售商品购买力、社会生产、货币流通和物价的发展变化趋势的重要资料。本文利用ARIMA模型对全国社会消费品零售总额进行分析，并利用模型预测，结果显示本文建立的模型能够较为准确的描述和预测社会消费品总额的变化情况。为相关部门对社会消费品零售总额的研究提供依据。
　　参考文献
　　[1]位钦，时间序列分析，岚.时间序列分析与动态数据建模[M].北京理工大学出版社，1988.
　　[2]贤达.时间序列分析：高阶统计量方法[M].清华大学出版社，1996.
　　[3]应用时间序列分析[M].中国人民大学出版社，2005.
　　基金项目：中央高校基本科研业务费专项基金（12ZT14）；中国铁路总公司科技研究开发计划重点课题（2013J1006—B）；成都铁路局科技研究计划重点课题（CX1304）。
　　作者简介：陈静静（1990-），女，山东德州，硕士，研究方向：可靠性理论与研究。