逻辑学在《数学分析》教学中的应用

　　在科学发展的初期，数学被包含在哲学的母体之中。逻辑学是研究思维的逻辑形式、基本规律与方法的学科，它与数学有着十分密切的关系。在它的发展过程中，不断借用数学的思想方法，反过来又促进数学的发展。《数学分抑）是大学相关专业十分重要的基础课程，蕴含着丰富的逻辑思维原理与方法。《数学分析》充分运用了分析与综合的逻辑思维方法，其基本概念一极限的定义，被称之为典型的分析语言，即是分析与综合的体现，其中包含了一些全称判断与特称判断，由此构成一个复合判断。极限的概念与方法，贯穿于《数学分析》的始终，既是教学的重点，也是教学的难点，其教学历来受到特别的重视。因此，在《数学分析）教学中，运用逻辑学的原理与方法，对提高教学质量有着非常重要的意义。

　　1分析与综合

　　分析法与综合法则是常用的普通逻辑思维方法。分析法就是把复杂的事物或过程分解成各个部分、局部或阶段，然后用孤立、静止的观点逐个对其研究，从而得出事物的微观性质；而综合法则是把事物的各个部分或阶段的微观性质有机整合在一起，把握事物的整体、宏观性质。通常人们往往将这两者先后结合起来，达到认识事物的目的。概念、判断、推理是思维的基本形式，因而数学概念就是教学中首先要注重的对象。《数学分析》的基本概念，例如极限、微分、积分的定义都采用了分析与综合的方法。下面以极限与定积分的概念为例说明。

　　（1)极限考虑数列极限lima„ =a,{an}趋近于a是一个无穷的复杂过程，把这一过程分解为：　n※'+丫Ian—a01Ian—a0.01Ian—a0002…对于上述每个变化阶段，用孤立、静止的观点研究它们，所得条件是自变量n必须大于某个正整数。这样的变化阶段有很多很多，它们具有上述类似的特征，运用逻辑量词符号，将其综合、概括起来即为：Ve>0，3正整数N,当n>N时，都有Ian—ae

　　（2)定积分定积分("f (x)dx的几何背景是求由曲线y=f(x)O0)，xG丨a,b]与直线x=a,Jb'x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积。这是初等数学不能解决的复杂问题，必须使用分析与综合的方法。先将曲边梯形铅垂地分割成若干个小的窄曲边梯形，然后对每个小窄曲边梯形，用孤立、静止的观点研究，将其近似的看作一个小矩形，即把函数f(x)在每个小区间[Xi—，x,]上看作是不变的，其值可以是任意的f()，与G丨xi—,x,],于是第i个小曲边梯形的面积的近似值为f(i)ixi—xi—)。其次，再将各个部分作和，得到整个曲边梯形面积的近似值为]E/(,)-x—)，最后让分割越来越细密，整个曲边梯形面积i—1的近似值的极限值即为它的精确值。上述过程中的分割、近似即为分析，而作和、取极限则为综合，定积分的概念是分析与综合相结合的完美范例。

　　2判断与否定判断

　　判断是对思维对象有所断定（即肯定或否定）的思维形式。数学中的判断大量存在于数学的概念与推理之中。在《数学分析》中，很多判断属于性质判断，即断定对象具有或者不具有某种性质的判断。如：①函数.f(x)在区间(a,b)可导;②函数f()在区间丨a,b]不可积。

　　性质判断按对象的数量划分，可分为单称判断、全称判断和特称判断；按性质划分，又可分为肯定判断与否定判断。否定一个全称判断，须用特称判断，而否定一个特称判断，则须用全称判断。

　　《数学分析》大多数基本概念的定义由全称判断和特称判断构成，如极限、上（下）确界、有（无）界函数、微分、积分等。这些概念都是教学的重点与难点。特别是教学之初就涉及到的极限概念，学生对其正概念，尤其是对其负概念中的“e—#语言”、“e—S语言”的理解和掌握容易产生障碍，究其原因，笔者认为是教学中缺乏逻辑学的指导。

　　下面运用逻辑学的原理与量词符号全称量词V与特称(或存在）量词3重点剖析数列{an}收敛于a的概念。首先，概念liman=a的定义如下：

　　n—co　Ve>0，3正整数N,当n>N时，都有Ian—ae这是一个复合判断。其中Vb0…引导一个全称肯定判断，而这个判断之中，又包含一个特称肯定判断：3正整数N…，一个全称判断Vn>N…。

　　根据逻辑学的原理，由全称量词V引导的全称判断，应该用存在量词3引导的特称判断来否定，而由存在量词3引导的特称判断，则应该用全称量词V引导的全称判断来否定。这样，立即就会得出极限liman=a的否定，也就是limana的定乂：

　　n—co n—:o

　　3e>0，V正整数N,3伽>N,使得Ian。—a同理，数列}发散的定义为：

　　VaGR3e>0，V正整数N3伽>N,使得Ian。—aI>e类似地，可以讨论各种类型的函数极限的定义及其否定形式。

　　此外，在逻辑推理（例如反证法）中，也经常涉及到全称判断和特称判断及其否定。

　　3结语

　　除了上面提到的逻辑学原理与方法以外，《数学分析》还大量运用了演绎推理、归纳推理、类比推理等逻辑推理论证方法与普通逻辑的基本规律，如同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。学习与掌握一定的逻辑学知识，不仅可以促进数学的学习，而且可以指导数学的教学。