用S变换做精细时变滤波
-、引言
地震信号的频谱是时变的，其中的噪音更是各个时段各不相同。要想将这些各时段频谱不同的噪音准确干净地滤掉而又不影响有效信号，最有效的办法是构造随时间变化的滤波器。
目前，地震信号的滤波是由快速傅里叶变换完成的，由于快速傅里叶变换的局限性及其与时间的无关性，使得用其完成时变滤波有一定困难，也很不准确。
有鉴于此，笔者尝试应用s变换对地震记录进行时变滤波，取得了较为理想的效果。
二、S变换的基本原理
1996年，美国地球物理学家Stockwell在前人成果的基础上提出了一种新的时频分析方法一S变换，它组合了短时傅里叶变换和小波变换的优点，同时避免了其不足，因而很快被应用于地震信号的时频分析领域。
Stockwell等在文献中对S变换作了详细的阐述。
S变换的一维正变换定义。
S变换的定义式可用的傅里叶频移谱H(a+ f)表示为：
S变换是以Morlet小波为基本小波的连续小波变换的延伸。在S变换中，基本小波是由简谐波与Gaussian函数的乘积构成的，基本小波中的简谐波在时间域仅作伸缩变换，而Gaussian函数则进行伸缩和平移。这一点与连续小波变换不同。在连续小波变换中，简谐波与Gaussian函数进行同样的伸缩和平移。与连续小波变换，短时傅里叶变换等时间一频率域分析方法相比，S变换有其独特的优点，如信号的S变换的时一频谱的分辨率与频率（即尺度）有关，且与其傅里叶谱保持直接的联系，基本小波不必满足容许性条件等等。
在S变换中，基本小波函数见文軌。
三、S变换应用于地震信号的时变滤波
实际采集到的地震信号往往受到客观因素的干扰而存在噪音。这些噪音往往同有效信号一样，频率是随时间变化的，且常常与有效信号或在时间域或在频率域相互混叠。去除这些干扰信号而不使有效信号受到影响，用传统方法是比较困难的。
s变换的最大优点是能精确地标定信号在各个时刻的频谱。目前常用于地震信号的时频分析。那么，它能否用于地震数据的精确去噪处理呢？理论上说，既然s变换是一种小波变换，甚至是更合理的小波变换，而小波变换目前已经广泛地应用于地震信号的处理。而且S变换能够精确地标定信号在各个时刻的频谱，那么它就能精确地表达有效信号和噪音在频率域各个时刻的特征。只要我们滤除各个时刻噪音的频谱成分，就可以达到精确去噪的目的。由此我们不难得出结论，S变换用于地震数据的去噪处理是没有问题的。
为了运用S变换精确去除地震信号中的噪音，我们用VC++语言编制了S变换的去噪程序，程序包括6个步骤:①将地震纪录用快速傅里叶变换变换到频率域;②用式(2)将其变换到S域;③输出具有代表性的某道的S谱;④由S谱确定各个时段要滤除的噪音范围；⑤在S域将各个时段噪音频段冲零;⑥用式(4)通过快速傅里叶变换将S域中的数据反变换到时间域。
我们用这个程序进行了理论模型运算和地震数据试算。
四、理论模型计算
为了验证S变换的去噪效果，我们构造了一个256个样点、米样间隔4ms、频率为25Hz的谐波序列(图1右边实线所表示的波形)，在这个序列的100ms处加载了80ms、75Hz的谐波，在340ms处加载了160ms、50Hz的谐波，构成了一个时变、频变的理论地震道模型（图1右边虚线所表示的波形)。其中75Hz和50Hz是我们要滤除的频率成分。
首先对理论模型地震道作S变换，得到了图1左边各个时刻的频谱(我们称之为S谱)。由图1可以看出，25、50和75Hz的频率成分在S谱上得到了精确的表达。
下面的工作是滤去50和75Hz频率成分的信号。图1右端点划线表示的波形是用S变换滤波得到的信号序列。与实线表示的25Hz谐波信号对比可以发现50和75Hz的频率成分被有效地滤去了，25Hz信号得到了较好的恢复。
理论模型的运算表明，应用S变换能够很好地完成某时间段、某频率信号的滤除工作。换言之，S变换能够定时、定频的完成噪音的定点清除任务。
五、地震数据试算
为了验证S变换对实际地震数据中噪音的定点清除能力，我们用实际地震数据进行了试算。图2-a是某地区经传统滤波处理后的地震记录。由图2-a可以看出:31~76道的0.5~1.5s时段之间存在线性干扰。由于它的频谱成分与地震信号相近，故用传统滤波方法清除不了。
我们在这张地震记录上用S变换的方法试图去除线性干扰。图2-b是S变换去噪后的结果图。从图2-b可以看出，S变换较干净地去除了31~76道之间的线性干扰，而地震有效信号基本没有受到影响。由此说明，用S变换方法定点清除地震记录中的噪音是可行的。
六、结论
笔者对s变换的应用作了推广，给出了用s变换定点清除地震记录中噪音的方法。S变换用于地震信号滤波，可同时考虑时间域和频率域特征，克服了传统窗口傅里叶方法易出现的吉普斯效应。本算例表明，S变换可望成为地震资料处理中去噪的有力工具。