高等数学教学中定理证明的重要性

摘　要：针对当前部分高校高等数学教学中存在的普遍问题，重成绩轻基础，笔者通过一个实际定理的证明，指出高校高等数学教学中讲授定理证明从培养个体思维的精密性出发是重要的。

关键词：创造思维；训练思维；精密思维
　　在全社会提倡终身教育的大潮下，作为在校学习阶段的大学生，具备一种自我学习，一种健康科学的思维方式，很强的逻辑思考能力，将在人一生的工作、学习和研究中显得十分重要。数学作为人类理性思维的结晶，不仅在于他是一门基础学科，更在于他是进行科学和工程问题研究的基石和工具，更重要的是他的理性思维是“开发智力”、“训练思维”的主要手段。弗兰西斯培根说：数学使人精密，哲学使人深刻，伦理学使人有修养，读史使人明智。然而在本三类高校的数学教学中普遍存在这样一个突出的问题，学校过分重视短时期内成绩的实现，而忽视了其他方面的教学，在学校调动骨干教师去进行竞赛辅导的同时，必然导致其正常的课堂教学服务于竞赛。具体的表现：从竞赛出发，把课程讲授时间压缩，以题海训练来提高学生在竞赛中的能力，而忽视了基础知识、技能、思想的传授，这对于发挥数学培养学生精密思维的作用是不利的。更有甚者在数学教学中，对于定理只要求学生掌握其内容而对于其证明干脆不讲。证明定理有利于知识的巩固，学生精密思维的培养，同时有利于学生主观能动性的发挥。下面我们借助高等数学中函数项级数的Weiertress判别法的证明来阐述我们的观点。
　　函数项级数的Weiertress判别法及其证明。
　　函数项级数若满足：
　　1）正项级数收敛。
　　　2），当时，。
　　　则 在上一致收敛。
　　 证明：，由条件1）知，，当时，，有，于是当时，及，有。由Cauchy收敛原理知在上一致收敛。
　　这个定理的证明很简单，但对于学生知识的巩固，精密思维的培养都有很重要的作用，同时可以充分发挥学生的主观能动性。
　　1． 不讲定理的证明不利于知识的巩固、知识的外延和学生精密思维的训练。定理证明
中用到的知识有正项级数的Cauchy收敛准则和函数项级数的Cauchy收敛原理以及绝对值不等式，通过定理的证明，可以很好的复习这些基本的知识，而不必要在课堂开始之前复习前一堂课的内容。通过定理的证明，学生可以明白Cauchy收敛准则如何应用。而在定理证明中对于的要求则培养了学生严密的逻辑思维。在讲定理证明之前可以让学生自己思考如何证明，训练学生如何从条件得到结论，用什么样的方法去证明这样一个结论的思维。我们在讲函数项级数的Weiertress判别法之前能用来判定函数项级数收敛的方法只有定义和Cauchy收敛准则，学生不难想到用Cauchy收敛准则，有了方法以后就是如何从条件中得到函数项级数满足Cauchy收敛准则，这就要求我们从条件中寻找，从而有了的选择。从定理的证明，我们知道函数项级数也是绝对收敛的，从而有了绝对一致收敛这个概念，而这一概念在大多数教材中是不提及的，如果不讲定理的证明学生可能就不知道这个概念了，即使把概念告诉学生，也不及在定理证明中学生对这个概念的理解。
    2．不讲定理的证明有碍学生主观能动性的发挥。对学生采取整齐划一的培养方式，极大地阻碍了学生个体的发展，抑制了个体学生的主观能动性，同时也剥夺了部分学生接受知识的权利。我们不能因为部分学生因为知识难接受不了而剥夺了其他学生学习知识的权利。美心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生有一个先决条件，就是掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中”。不讲定理的证明，学生也许就不知道如何使用Cauchy收敛准则，不知道绝对值不等式怎么用。我们相信在这个定理证明中，可能有学生已经想到了绝对一致收敛这个概念了。
　　3．不讲定理的证明是舍本逐末。学习的目的不在于会做题和掌握一些做题技巧，而是要了解一门课程内在的思想，内在的连贯机制以及这门课所蕴涵的科学文化。就数学这门课而言，讲授高等数学的目的是从本质上提高学生的数学修养，从而在考虑客观实际问题时可以数学的思考问题，激发他们的创造力和智慧，并有所创新，有所开拓。日本数学家米山国藏指出：“无论是科学工作者，技术人员，还是数学教育工作者，最重要的就是数学的精神、思想和方法，而数学知识是第二位的”。作为数学的精神、思想和方法可永远发挥作用，可以受益终生，这是数学能力所在。我们开设数学课的目的不是让学生记住多少定理、公式，学到多少解题技巧，而是要他们掌握数学科学的精髓，理解问题的本质；开阔学生的视野，培养学生观察问题的敏锐力，能够看的更高，看的更远，能够学以致用。这个定理的证明，反应了数学的美妙和丝丝相扣，更重要的是让我们学会了一种思维能力，正如Weiertress如何从Cauchy收敛准则想到这一判别准则，给我们很大的启发。
　　4．在教学中应加强数学方法论和数学史的教学。教学中作为具有主导地位的教师，其最重要的是把握讲解知识的正确性和知识传播的科学性，只有对知识点有相当深度和广度的理解，作深层次的讲解和发挥，才可视为教学的创新工作。只有传授的知识是深层次和正确的，学生的创新类比才具备了必要条件。在授课中，老师用对这个知识点涉及到数学史对学生做大体的讲解，说明问题的来龙去脉，讲解数学家是如何想到，或者在一种什么样的情况下得到的这一结论，这些对于学生的创新和知识迁移都是很有益处的。
　　教师要不断提高自身素质，积极参与数学的教改探索和实践，提高学术水平，教学水平和数学方法论的素养。
参考文献：
.徐州工程学院学报：自然科学版，2011，26（4）：31-34.