初等数学的价值观

　　提出初等数学的价值观.通过对初等数学形式逻辑的讨论启发认识.感悟初等数学创新的思考方法对现实社会的经济价值.把数学推向实用，把形式逻辑推向辩证逻辑，从而提升初等教育数学创新的思考方法对现实社会的普遍价值.

　　一、数学价值

　　数学是用形式逻辑来研究空间变化的.数学家从定义，公理出发，通过形式逻辑建立数学理论.由于形式逻辑很抽象，尤其是复杂数学的形式逻辑，看不出巧妙的思考方法，所以要运用数学理论创造现实经济价值是很困难的.

　　事实上，数学的现实经济价值通常是靠竞技表现的.优胜者可以获得竞技奖励.国际奥数竞赛，如果中国的学生成为冠军，那就可以获得国际奖励.国内外的数学家研究某个世界难题，如果国内的学者证明这个难题，那就可以获得国家奖励.这就是数学的现实经济价值.如果不靠数学竞技获得奖励，那是很难从另外的途径获得现实经济价值的.

　　我发现国内有很多学者宣称用初等巧妙方法证明了数学难题.同时又抱怨不能得到承认，不能获得奖励.我对这些初等数学方法有兴趣，尤其是初等数学原创.通过初等数学原创感悟巧妙的方法.阿基米德说：给我一个支点就可以橇动地球.这个支点就是巧妙方法.如果没有发现这个支点，那用很大的力量都是不管用的.

　　我所说的初等数学的价值，就是巧妙方法的价值，也就是创新思想的价值，并不是得到奖赏.如果能用巧妙的初等方法证明数学难题，那么也可以启发用低级巧妙方法创造巨大的经济价值.这就是我所说的初等数学的价值观.

　　二、转变调皮学生恶行

　　偶然的机遇，我发现初等数学的好处.文革时期，我到外地无证售货拘留3天.贵人相助，我从拘留所放出来.后来又遇到一位贵人相助，推荐教书.那时教员的待遇很糟糕，调皮学生向老师背后扔水馒头，也就是用水泡过的馒头.我用初等数学巧妙的转移了调皮学生的恶劣行为.

　　我对调皮的学生说：看得出来，你很有数学天赋.调皮学生很是得意.我就提出三等分角的问题.我说，作出三等分角可以奖励10万元.这名学生说：我作出来啦!那名学生也说：我也作出来来啦!我总是说：你很有数学天赋.其实都是错误的.

　　后来，我发现，操场坝的地上都有三等分角的痕迹.那些调皮的学生干得欢.学生的破坏型热情，转变为建设型热情.这就是初等数学的好处.我以为，如果学校出现一个坏学生，不都是学生的问题.老师有责任启发认识，把学生的破坏型热情，转变为建设型热情.

　　三、数学创新启迪生意

　　现在很多人乐于生意的创新，却不喜欢数学的创新.认为数学创新对于现实经济没有什么价值.总不能把数学定理拿到市场上卖吧.不能这么说.我发现数学创新，可以启迪生意创新.数学讲逻辑.生意也讲逻辑.

　　你不喜欢吃亏，你就要吃亏.你喜欢吃亏，你就不吃亏.还有推论：大家都不喜欢吃亏，大家都吃亏.大家都喜欢吃亏，大家都不吃亏.松下电器公司总裁就喜欢吃亏.在创业初期，东京有个电器公司拍卖200万，松下幸之助给300万.这个事情传播开以后，客户都觉得购买松下公司的电器是不会吃亏的.松下公司的生意就好做啦!国内有个企业家叫马云.是《福布斯》杂志创办50多年来成为封面人物的首位大陆企业家.马云以195亿美元成为中国内地新首富.马云从小就是一个喜欢吃亏的傻娃.小时候爱打架，打了无数次的架，没有一次为自己，都是为了朋友义气打架.挨很多打，缝过13针，受过处分.所以，大家都觉得与马云结盟肯定是靠得住的.马云的生意肯定好做啦!

　　四、数学的理论与实用

　　1982年，马云第一次考大学落榜.1983年，马云再次落榜.1984年，勉强被杭州师范学院以专科生录取.马云考大学数学第一次考了1分.这说明什么问题呢?说明数学考试难.现在的数学考试可能淘汰像马云那样优秀的实干人才，而且让学生误认为不需要学习数学也能创造巨大的经济价值而让许多人淡漠对数学的热情.越来越多的学生就觉得数学没有价值是个累赘而不感兴趣.如果这个趋势不能得到改善，数学就有可能成为科学世外桃源奢侈品而降低其对现实经济应有的价值.

　　怎么办呢?那就是改变数学复杂深奥的现状，让数学浅显初等，让大家都喜欢数学.如果像马云那样的学生都对数学感兴趣，那么创造的经济价值可能还要大得多.浅显初等的数学才能普及到民众，才能最广泛的把数学推向实用，从而最大限度创造经济价值.在此，不妨引用台湾中央研究院数学所黄武雄先生的“数学的理论与实用”里的部分论述：

近几年来，“数学迈向实用”的呼声此起彼落.且正激烈在冲击有关数学圈的每一个角落;从国科会到研究室，从研究室到课堂，从课堂到考场，甚至于在餐厅冷饮的闲聊场所，我们看到，每年数学研究费的申请都积极在鼓励与经建配合的研究方向，每学期数学系学生的选课单都一窝蜂填满形形色色应用数学的课程，每次数学教学课程大纲在会议桌上一被提了出来，必然要再三强调数学教材内容的实用性.

“数学实用化”浩荡声势，正以排山倒海而来，任何个人都无法抗拒.数学圈闭门造车“为数学而数学”的时代要改变了.我们不禁会想：数学发展有这么久时日了，“数学迈向实用”是今天才有的主意?究竟是几千年来大家都视而不见，一直喊不出这番口号?抑或廿世纪的七十年代有着什么特殊的背景，使我们觉醒，开始认清如此一个简单易明的事理：“数学要实用”?雅典时期的竞智数学，不刺激数学实用的发展，三等分角悬决千年的缘故，是因为它不重要，因为它只是有闲阶级的主观产物，因为它是出于柏拉图学派作茧自缚，硬要限制标尺作图的竞智心理(柏拉图却美其名为 “上帝作图法”).三等分角自提出到解决，间隔两千多年.扮演两千多年游戏人间的无聊角色.正当多少人耽迷于数学文字游戏的时候，始终仍有一些明智之士不断在唤醒数学理论取诸自然还诸自然的正确里程.1965年以后，投入越战的巨大消费结束美国战后的黄金文明，“为数学而数学”的风尚为情势所迫，才逐渐没落.

1962年有一篇轰动一时的退休讲演，题为《偏窄的数学家》在纠正当时数学教育偏狭的弊端，并且指出“我们鼓励将教材重新组成易于理解的数学构造，并从事于数学应用的现代化，已获得相当程度的成果.我们不能否认在数学实用的方向上，某些特殊时代曾出现过偏差，某些数学家认识不清而在“为数学而数学”的象牙塔里迷失.我们不能赞同某些数学家为要持续自己的迷失，所叫出的托词：“今天这些数学理论，谁能担保那天不会变成有用?曾有一位塑胶制品的厂商来找过我，提起他要外销塑胶花球的问题.这是一个实用问题，但问题的解决方法早在几个世纪前就写在一般理论数学的书上.换句话说，他所要的答案，今天已写在高中数学的教科书上.他大学毕业.在大学教书，我接触很多各系的学生，也常发觉一些读过很多高深应用数学课程的学生甚或研究生，碰到一个实际的问题，束手无措.追究他的困难，竟然只因他对于早已学过的高中数学的方法，未窥其义.

　　可以想见，我们“设计”再多的实际问题，写在黑板，仍无法概括一名学生以后可能面临的实际问题，除非我们深入地教导学生前人遗留下来的基本思考方法.

　　黄武雄先生说到数学实用的关键问题：基本思考方法.也就是数学家初期的思考方法.这是在形式逻辑和结论之外的思考方法.很多人只看重形式逻辑和结论，却忽视数学家初期的思考方法.正如很多人只看重公司运作和钞票，却忽视企业家初期的思想策略.数学家初期的思考方法，其实就是创新的思考方法.这是书本上没有的，也不是预期的.是在数学实践中偶然感悟的.正如企业家初期的思想策略是在市场闯荡中偶然发现的.都不是预期的.而且都是很浅显的.说出来都能懂.然而，就是不说.为什么不说呢?因为实践很辛苦，得来却偶然，是很珍贵的.数学家都不喜欢显露初期的思考方法.不但是因为初期的思考方法珍贵，而且是不成熟的.等到初期的思考方法成熟以后发表出来，却已不是初期的思考方法.事实上，数学家初期的思考方法是隐藏的.通常所看到的只是形式逻辑和结论.即便形式逻辑和结论也有隐藏.

　　五、创新思考

　　我们讨论数学课本里的一个问题.设x趋于0，我们有极限：limsinx/x=1，这是大家熟悉的.很多学生似乎都能接受.也有的愚笨学生不能接受：x=8，sin8/8≈0.017，怎么不接近1呢?因为x应该用“弧度”来计算：

　　x=8，弧度x=8×π/180≈0.13962634，sin8/0.13962634≈1，

　　x≈0.13962634，sin x 是 sin 0.13962634，为什么是 sin8呢?

　　因为 sin x，其中 x 应该用“角度”来计算：弧度 x≈0.13962634，角度 x≈0.13962634×180/π，sin(0.13962634×180/π)≈sin8，同一个变量x隐藏两个含义.x是弧度，却又隐藏“角度”计算.好在这个问题不复杂.稍微复杂的问题：弧度 x，函数f (x)，sin f (x) 怎么计算呢?看来，即便是把书本的形式逻辑和结论隐藏的问题对学生讲清楚都不轻松.何况数学家有所隐藏的初期思考方法.

　　数学家初期思考方法的价值就在于：创新的思考方法.我们要问：为什么“读过很多高深应用数学课程的学生甚或研究生，碰到一个实际的问题”却没有办法呢?因为这些学生只是读过应用数学课程，却没有创新的思考方法.书本里的课程是公开的，自己懂，大家也懂，市场价值是很局限的.创新的思考方法，自己懂，大家不懂，市场价值是很大的.我们虽然难以探得数学家创新的思考方法，但是，我们可以创新自己的思考方法.创新就是辩证.创新的思考方法，就是辩证的思考方法.也就是辩证逻辑.世界就是时间与空间辩证逻辑.天体世界和人类社会有辩证逻辑.政治、经济、军事、科学、艺术、宗教、生活、工作等都有辩证逻辑.数学就是研究空间形式逻辑.从普遍的意义上说，数学推向实用，就是形式逻辑推向辩证逻辑.

　　六、勾股定理辩证逻辑

　　设 三角形的各边为 a， b， c， 其中 a与 b 的夹角 90 度，有勾股定理：c2 = a2 + b2，

　　人类发现这个规律已有几千年.事实上，在几百亿年前早已存在这个规律.不是由于发现勾股定理，所以才存在这个规律.是由于存在这个规律，所以才能发现勾股定理.不管人发现，还是没有发现，勾股定理都存在，从前，现在，未来都是永恒的.

　　我们用对话的形式讨论勾股定理辩证逻辑.

　　甲：勾股定理是怎么创造的呢?乙：是通过人的思考创造的.对吧.

　　甲：不对.因为在几百亿年前早已存在勾股定理，那时还没有地球.所以不能说是通过人的思考创造的.乙：勾股定理是几百亿年前天然形成的么?

　　甲：不是.天然能够形成钻石，却不能创造勾股定理.乙：为什么天然不能创造勾股定理呢?

　　甲：因为天然没有思维.勾股定理的创造必然伴随思维.乙：什么道理呢?

　　甲：因为勾股定理是思维形态.所以勾股定理的创造必然伴随思维.乙：钻石和勾股定理有什么不同呢?

　　甲：钻石是可以摧毁.勾股定理是不能摧毁的，用核武器也不能摧毁.这说明勾股定理不是天然创造的，是通过思维创造的.即便是提出一个学说，也要通过人的思维，何况是永恒的勾股定理呐!乙：既然勾股定理是通过思维创造的，在几百亿年前早已存在勾股定理，那么是否意味着在几百亿年前早已存在思维呢?

　　甲：问得好!乙：这个思维在哪里呢?

　　甲：人和天然之外.乙：能用逻辑推理来证明么?

　　甲：勾股定理是通过人的思维发现的，也必然是通过思维创造的.因为天然没有思维，所以，勾股定理不是天然创造的.虽然人有思维，但是人又不能创造勾股定理，那么勾股定理只能是人和天然之外有思维的形态创造的.乙：这就是逻辑.

　　甲：这和证明素数有无穷多个是相同的逻辑.如果一个合数不能被有限素数序列整除，那么在有限素数序列之外，必有素数.乙：如果人和天然不能创造勾股定理，那么在人和天然之外，必有思维.

　　我们也可以用辩证逻辑证明哲学的难题.限于篇幅，这里不作讨论.

　　作者：陈善 来源：数学学习与研究 2015年21期