PISA视野下中职数学建模课堂初探

　　摘要：本文阐述了如何立足于PISA测试终身学习的理念，利用PISA数学试题作为热身，引导学生学会看图分析表格数据，并巧设生活情境让学生掌握四大初等函数模型，初步探索中职数学建模的教法，幫助学生更好地面对未来的生活。

　　关键词：中职数学数学建模PISA终身学习函数模型

　　中职学校学生毕业后大部分就会进入社会，走上工作岗位，他们比普高学生更关注知识的实用性。而如今的数学课堂由于高度抽象性让他们觉得高冷不接地气，缺少学习的兴趣，也难以体验到成功的喜悦。这透视出学生对数学应用缺乏信心，也促使笔者去思考一个问题：如何在教学过程中将数学知识与实际情境联系起来呢？答案呼之欲出：数学建模。正是数学建模构建了现实世界与数学世界之间的桥梁，具体而言，是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程。

　　一、研究背景

　　事实上，早在2009年颁布的《中等职业学校数学教学大纲》就要求学生掌握三项技能和四项能力，其中分析与解决问题能力就明确要求学生能对工作和生活中的简单数学问题做出分析并运用适当的方法予以解决。而直到2017年中职课堂才首次将“数学建模”这块内容加入教学计划当中。据了解，最新的普通高中数学课程标准已将“数学建模”作为学生六大数学核心素养之一，并特别强调了数学应用。

　　作为中职教师，要明确在中职开展数学建模教学应区别于普高，需要降低教学要求，将目标定位于激发学生兴趣、提升学生思考力上，而不是解析多么复杂的题目。中职所培养的人才应该会看图表，会分析数据，并掌握一次函数、二次函数、分段函数、对勾函数这四大函数模型的特点，具备适应未来社会生活和竞争的基本数学素养。

　　二、PISA数学素养

　　PISA（programforinternationalstudentassessment）是国际学生评估项目的缩写，PISA测试旨在测评义务教育即将结束的学生是否具备了参与未来社会所必需的基本知识与技能。其中数学素养测试题设计为问题单元结构，以真实生活情境为问题的主题，重视数学各课程内容的综合体现，突出考查学生在真实情境下解决问题的能力，这些能力能够帮助学生在今后生活的各个领域里做出正确的抉择。PISA数学试题在编排上，主要以生产和生活类应用类为主，根据马斯洛的需要层次理论分析可见，PISA数学试题更多满足的是金字塔底端的生理需求，而属于精神层次方面的试题所占比重都比较小，难度不大，这与中职学生的基本需求不谋而合。

　　三、融入PISA视野的中职数学建模教学可行性研究

　　试题预热

　　在中职课堂开展建模教学主要是使学生把所学的数学知识和现实世界联系起来，促进学生对数学概念方法等的理解，使学生有机会用数学知识和推理能力解决实际问题，感受到数学的美好。教师应将重点放在函数模型的建立上，引导学生感受建立函数模型的过程和方法。由于函数模型的表现形式是多样的，如解析式、图像、表格等，所以教师应着重培养学生分析表格、数据、图像等方面的能力。

　　明确目标之后，教师要在充分考虑学生心理接受能力的前提下，有策略地开展建模教学工作。教师如果一开始就给学生讲授数学建模以及各类函数模型，会发现学生很快出现畏难情绪，此时共同探讨一些PISA试题，则能很快让学生重拾信心，感觉自己也可以成为一名数学高手。由于现实生活中常常充斥着各种表格、图表、图像，所以教师应通过建模活动让学生掌握从图像中提取数学模型的能力，这一教学目标可以逐步分解成读图、识图、解释图和转化图的能力，最终进一步做出决断。PISA试题中有大量的图片、表格可供借鉴。

　　例如驾车问题。小丽驱车出外兜风，半途中突然有一只猫冲在车前，她用力剎车才没撞到它。小丽受惊后决定开车回家。下图是小丽行车的速度记录。

　　问题1：小丽行车期间的最高车速是多少？

　　问题2：小丽在什么时间为躲避那只猫而踏剎车？

　　问题3：由上图的数据，能否知道小丽回程的路线，是不是比她从家里出发到发生此意外事件的路线距离短？请解释你的答案。

　　分析：这道题难度系数较低，绝大部分学生可以得出正确结论，少部分学生需要引导看懂图像的横纵坐标再结合情境解答，主要目的是让学生体验到解题成功的喜悦，激发兴趣。

　　PISA试题中诸如此类的题目很多，教师可以自行选择激发学生兴趣，学生通过对上述类型题目的解析逐步增强信心，笔者称之为建模的“预热课”，教师可带领学生花上一周的课时进行PISA试题的探索，这并不是浪费时间，从中可以引导学生迅速进入到真实情境中，提升读题、分析数据的能力，为后续真正的函数模型教学打好良好的基础。

　　预热完成后，教师趁热打铁，渗透具有特定函数模型特点的图表，学生也能进一步接受。教师要先着重培养学生透过数据特点提取函数模型的能力，如通过数据的线性特点抽象出一次函数模型、根据数据的对称特点抽象出二次函数模型等等。

　　2.巧设案例，吃透四大函数模型

　　函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。在具体应用中，学生需要具体掌握一次函数、二次函数、分段函数以及对勾函数的模型。这需要学生吃透这几个函数模型中变量之间的变化规律，在教学中，例题的设置显得十分重要。

　　一次函数主要刻画变量的线性依存关系，通常社会生活中的消费活动就是一次函数模型。

　　当研究的问题涉及面积、产量、利润等方面时，则需要利用二次函数模型。二次函数的数据关于对称轴成对称关系，从而使得单调性也在对称轴两边发生变化，常常用于计算最值。

　　例如，某DVD光盘销售部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，每张DVD光盘的进价是6元，銷售单价与日销售量的关系如下表所示。

　　请根据以上数据，试建立日均销售量与销售单价的函数模型，以及销售单价与日均销售利润的函数模型。

　　分析：这道题首先要求学生根据表格分析出变量之间的线性依存关系，从而推断出销售单价和日均销售量之间符合一次函数模型。其次，学生根据常识可以发现，销售单价与日均销售利润之间满足二次函数模型，并根据二次函数最值求法，得出销售单价定为多少元时，日均销售量最大，最大值又为多少。

　　对勾函数是学生最新接触的函数，教师在通过实例得出这一模型后，应通过几何画板等工具让学生掌握这一类型函数的图像和特点。它的图像类似于两个对勾，每个对勾都有一个顶点，因此也可以求最值。

　　例如，做一个体积为32m？、高为2m的无盖长方体的纸盒，请学生通过建立函数模型，使用纸的面积最小。

　　分析：教师可以在讲述对勾函数特点之后，让学生分小组自主完成这道题并上台阐述。教师应充分肯定每一组学生的思维亮点。

　　3.坚持PISA理念教学

　　教师需明确学习数学建模的目的是让学生体验数学与生活是紧密相连的，在教学过程中不要总想着要让学生掌握多少知识点，而是着重于探究这一过程，同时帮助学生树立终身学习的理念。而PISA正是立足于终身学习的理念，旨在帮助学生获得未来发展所需的数学素养。因此，在建模过程中，教师应该允许学生有不同的思维和答案，可以对不同的思维方式和解题过程给予不同的评分，从而对学生的答题表现做出一个精确的评价，避免学生为了迎合标准答案而失去了心里的真实感受，评价方式的改变有利于学生创造性思维的发展。评价方式小到上课中切忌粗暴打断学生的思维过程，大到在试卷答题中给予过程分数，至于具体有效评价方式如何改革尚需实践探究。

　　四、反思与建议

　　目前教师都是首次尝试讲授建模，普遍存在的问题是建模知识陈旧、不知道如何组织有效的建模活动等，随着建模进入数学课程，学校应该着力开展以数学应用与建模为主题的教师培训，不仅要让教师更新知识结构，了解建模的含义、教学方法、实施过程等，还要及时转变数学教师的教学观念，建议定期开设一些建模的公开课，根据具体情况给予教师指导，让教师明确教学过程如何实施。在教材方面，学校应该为教师专门提供数学建模的材料，可借鉴新加坡等国家的教学经验，并提供一些实操案例。在建模的评价方式上，指导教师要采取开放的姿态，多多倾听学生的思维过程，尊重不同的建模方式，多给予过程肯定。

　　参考文献： 

　　[1]陈呈，王金才.中学数学应用与建模的中新比较[J].数学通报，2017（8）. 

　　[2]吴蓉，宋金锦，黄倩.PISA关于数学素养的测评特点简析[J].数学通报，2014（7）. 

　　[3]刘春英.数学建模在中职数学课堂教学中的应用探析[J].长春教育学院学报，2015（9）. 

　　陈莹（作者单位：宁波经贸学校）