数学分析原理和方法在中学数学中的应用

　　随着中学数学教育改革的进行，中学数学课外活动蓬勃开展,在中学活动课程中,学生常常接触一些中学数学课本以外的知识,数学奥林匹克在中学活跃了学习空气,同时也对中学数学教师提出了更新、更高的要求,数学分析和其他一些高等数学的知识在其中发挥着更加突出的作用。如集合的拆分,组合计数,递归数列,利用极限推证不等式,用介值定理求方程的近似解等。许多课外活动的数学问题,其内容有高等数学的背景,现代数学的观点,有高等数学的思想方法,但其解法又是初等而又十分巧妙的，文章是对数学分析课程在中学数学教学中的应用作简要探讨。

　　1微分学原理、方法在中学数学中的应用

　　在中学数学中,要作出函数的图形,除了利用极易判断出来的函数的单调性以及可明显看出的一些极值点等性质外,最主要的还是依靠描点法作函数的图形，如此作出的图形究竟是不是该函数的真正图形是无法肯定的。而在数学分析中，利用导数判断出函数的单调性、凹凸性,求出极值点和拐点,再利用极限求渐近线，就能精确地画出函数的草图,所以可用微分学原理和方法指导中学数学教学。

　　(1)讨论函数的单调性中学数学讨论函数的单调性一般只能根据定义,计算很繁琐,对某些函数甚至无法判别,而根据微分学中严格单调的充分条件的定理“若/\对乂?(a,b),有f(X>0威f(X<0),则函数f(X在(a,b内严格增加或严格减少)。”则可使解法简化,并能使问题得以深化和拓展。

　　(2证明不等式。不等式在中学数学中占据着重要地位,这体现于它在解方程（如解不定方程、三角方程、对数方程等)和有关函数的问题、三角证明题、极值、条件极值、几何证明题等诸方面的应用。不等式的证明方法多种多样,没有一个统一的模式。初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式,其中进行巧妙的恒等变形,形成非负的项或者凑成可利用的重要不等式洳Vb等)是极有生命力和创造力的方法,但这里往往要有较高的技巧。利用微分中值定理、函数的单调性、定积分的性质等有关知识,可使不等式的证明过程大大简化。

　　2积分法原理和方法在中学数学中的应用

　　积分学是由不定积分和定积分两部分组成，不定积分是从逆运算的角度把积分看作微分的逆运算而定义的。而定积分是从极限的角度把定积分看作是特殊类型的极限加以定义的,这两类积分从定义形式上看截然不同，但Newton-Leibniz的微积分基本定理揭示了它们的内在联系，使得求一个和式极限这个相当困难的定积分问题转化为通过求不定积分来加以解决,从而使两者成为不可分割的整体,在理论和应用上取得了长足的发展。单从数学分析来看,定积分不仅对求面积、弧长、体积、近似计算等问题十分有用,而且与数学分析的另-组成部分--级数之间建立了联系。

　　定积分除具有具体应用的优势外，更具有方法上的指导意义。在中学数学中，对一些规则平面图形或空间立体的面积、体积和表面积给出计算的公式,但其中相当一部分公式无法给出推导的方法，在研究体积计算问题时常用的一个重要定理--祖暅定理也只能当作公理介绍，并由它以及长方体的体积公式推出柱、锥、台、球等体积公式。而在数学分析中,有关面积、体积的计算完全可利用积分或重积分精确地计算出来,祖WS定理、柱、锥、台、球等体积公式只须用定积分的定义便可简捷地给出证明。中学数学教师有了数学分析作为工具,在遇到有关面积、体积的计算问题时,可先用数学分析的方法求出解答,这为选择适当的教学方法指明了方向。

　　3级数理论在中学数学中的应用

　　级数理论同样是数学分析中的一个重要内容，利用函数的级数展开式可进行近似计算，中学数学用表中的三角函数表、常用对数表等均是利用级数理论求出其近似值来制作。中学教师具备了这些知识后，在日常教学中就不但能教学生如何查表,还可说明造表的理论依据,激发学生学习数学的兴趣。另外,还可用于讲一些常数如数e,数+)的超越性等,为开展中学数学课外活动提供素材。

　　总之,利用数学分析的原理和方法,可以改变我们对一些问题的思维方式,拓宽我们的解题思路。中学数学教师在讲授上述内容时,可先用数学分析的方法求出答案,做到心中有数,然后再根据中学数学知识,结合学生的实际情况,设计出既不违反科学,又利于后续课程学习,并且最易为学生接受的最佳教学方案,这样必能收到理想的教学效果。

　　把数学分析的思想、方法、知识应用于解决中学数学问题上,能起到以简驭繁的作用,尤其是在不等式与恒等式的证明、求函数极值与切线及单调区间、方程根的讨论、研究函数的性态与作图以及解决实际问题等方便,不仅可以简化解法,而且能使问题的研究更为深入、全面。然而,文章对此研究的并不完善,仍有继续研究的空间。