一元复合函数分解标准浅析

复合函数是初等函数中比较重要的一种函数类型。一元复合函数的求导要遵循复合函数求导的链式法则。因此能正确分析清楚一元复合函数是由哪些“简单函数”复合而成，对于一元复合函数的求导结果是否正确起到关键的作用。

本文主要针对如何正确分解一元复合函数，包括分解的方法和标准来做研究。

　　一、引言

一元复合函数能否正确分解，在复合函数求导等问题上起到事关成败的关键作用。而在很多高校高等教育中数学知识教学中，一般教材找不到一元复合函数分解的方法和标准的说明，且有关这方面研究和分析的论文更是难觅踪迹。

因此很多老师在向学生讲授这个问题时，方法可谓五花八门，标准可谓形形色色，甚至有些老师自己都搞不清楚应该执行哪一套规范的分解方法和标准。

在这个基础上，再去要求学生正确掌握复合函数的分解明显是不切实际的。复合函数的分解必须形成一套固定的方法和分解的标准，从上面的实际问题分析来看显得非常重要。

　　二、基础知识回顾

　　(一)基本初等函数

　　(二)复合函数

　　设y是u的函数y=f(u)，定义域为D，而u是x的函数u=φ(x)，其定义域为G，值域为E，且E?奂D，则对于G内的每一个x，经过中间值u=φ(x)，唯一对应着一个确定的y，于是因变量y经过中间变量而成为自变量x的函数，记为y=f(φ(x))，x∈G，称函数y=f(φ(x))是函数y=f(u)和函数u=φ(x)的复合函数。

　　(三)初等函数

　　由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的函数复合所得到，且能用一个式子表示的函数，称为初等函数。常见的分段函数一般不是初等函数，本文并不讨论分段函数类型，也就是我们研究的函数主要是初等函数类型。

　　三、函数的结构

　　微积分主要研究对象是函数，因此函数属于那种类型，也就是我们研究的函数“结构”如何，对函数性质的进一步得出显得非常重要。比如在函数求导这个问题上，确定函数“结构”类型，才能采取对应求导法则，这如同确诊疾病类型和给出何种治疗处方一样。一旦连函数类型都确定出错，那就很难正确求出这个函数的导数了。

　　函数“结构”一般从最终的类型上看，主要常见有以下两大种类型：(1)本身是个复合函数;(2)只是个加法、减法、乘法、除法式子。

　　一般确定函数类型的方法是，代入一个自变量x的值，看最终一步因变量y是如何计算出来的。如果最后一步我们是通过加、减、乘、除运算计算出值的，那么我们就可以把这个函数划归到加法、减法、乘法或除法式子中去，也就是可以把这个函数理解为是一个和式、差式、积式或商式。如果不是，一般它就是一个复合函数，也就是我们在进一步的计算中需要对它进行分解。

　　例1 分别指出下列函数的“结构”类型。

　　仔细观察一下上面的两个复合函数的分解，为何第二个函数计算步骤更多，而分解出来的简单函数却“更少”一些呢?这就有必要进一步根据前面所说的函数“结构”相关知识，来制定复合函数分解的标准。

　　(二)分解的原则和标准

　　(1)复合函数分解为简单函数时，一般要求除最后一个函数外，前面的函数一定都是基本初等函数;(2)最后一个分解出来的函数可以是以下两种情形：要么是基本初等函数;要么是一个加减乘除算法式子，二者必居其一。对于第二种情形，最后一个函数绝对不应该是复合函数，不然说明函数分解不彻底，需要进一步分解下去，直至符合前两条准则为止。

　　(二)复合函数分解中的特例

考虑到求导这个问题时，基本初等函数或加减乘除运算式相对复合函数来说一般更为简单。对于基本初等函数求导，我们直接利用基本求导公式，对于加减乘除算式求导，我们可以利用求导四则运算法则，而对于复合函数求导，却需要对函数先进行复合分解，再利用链式法则求导。

有些函数既可以看作复合函数，还可看作是基本初等函数，还有些函数既可以看作是复合函数，还可以看作是函数的加减乘除运算式，因此在这种情况下，我们宁愿不把这个函数当作复合函数，而当作其他形式求导，从而避免复合分解容易出错、求导变得复杂等问题的出现。

　　四、小结

从上面复合函数分解的常见典型问题中可以发现，复合函数分解确定一套可行的标准显得非常重要，这样我们在后续的知识学习中，才能保持知识的连续性和一贯性。

对于复合函数的分解，在给学生讲解的时候，把标准放在前面，用典型容易出错的例题来对学生进行有针对性的训练，一般会在复合函数求导这个既是重点又是难点的知识学习时，取到非常好的效果。

　　作者：彭雨明 刘会灵 来源：教育教学论坛 2016年26期