轻舞飞扬庆庆
矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.2.初等变换法3.伴随阵法例:此方法求逆矩阵,对于小型矩阵,特别是二阶方阵求逆既方便、快阵,又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵,只需要将主对角线元素的位置互换,次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵,在求逆矩阵的过程中,需要求9个或9个以上代数余子式,还要计算一个三阶或三阶以上行列式,工作量大。4.分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆例:4.2.准三角形矩阵求逆其它公式:此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法,并且在求逆矩阵之前,首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.
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逆矩阵的求法:
1、利用定义求逆矩阵
设A、B都是n阶方阵, 如果存在n阶方阵B 使得AB=BA=E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A的逆矩阵。
2、运用初等行变换法
将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵B=(A,I])对B施行初等行变换,即对A与I进行完全相同的若干初等行变换,目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时,B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。
3、增广矩阵法
如果要求逆的矩阵是A,则对增广矩阵(A E)进行初等行变换,E是单位矩阵,将A化到E,此时此矩阵的逆就是原来E的位置上的那个矩阵,原理是 A逆乘以(A E)= (E A逆)初等行变换就是在矩阵的左边乘以A的逆矩阵得到的。
4、待定系数法
待定系数法顾名思义就是对未知数进行求解。用一个新的包含未定因子的多项式来表达多项式,从而获得一个恒等式。接着,利用恒等式的特性,推导出一类系数必须满足的方程或方程,再由方程组或方程组得到待确定的系数,或确定各系数之间的对应关系,称为待定系数法。
左左颜色
一般用初等行变换,来求,对增广矩阵A|E,同时施行初等行变换,化成E|A^-1;
在原矩阵的右侧接写一个四阶单位矩阵,然后对扩展矩阵施行初等行变换,使前面的四阶矩阵化为单位矩阵,则右侧的单位矩阵就化为了原来前面的逆矩阵。
扩展资料:
逆矩阵求法:
求逆矩阵的初等变换法
将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵
对B施行初等行变换,即对A与I进行完全相同的若干初等行变换,目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时,B的右一半矩阵同时化为了A。
如求
的逆矩阵A-1。
故A可逆并且,由右一半可得逆矩阵A-1=
初等变换法计算原理
若n阶方阵A可逆,即A行等价I,即存在初等矩阵P1,P2,...,Pk使得
,在此式子两端同时右乘A-1得:
比较两式可知:对A和I施行完全相同的若干初等行变换,在这些初等行变化把A变成单位矩阵的同时,这些初等行变换也将单位矩阵化为A-1。
如果矩阵A和B互逆,则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知,矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是方阵,且rank(A) = rank(B) = n)。
换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵[2] 。
伴随矩阵法
如果矩阵可逆,则
注意:
中元素的排列特点是的第k列元素是A的第k行元素的代数余子式。
要求得
即为求解的余因子矩阵的转置矩阵。
A的伴随矩阵为,其中Aij=(-1)i+jMij称为aij的代数余子式。
参考资料:百度百科-逆矩阵
分块矩阵,求解!授人予鱼不如授人予渔,在《线性代数》的学习中,方法尤为重要。下面就让我们一起解决《线性代数》中令人头痛的——矩阵分块法吧!如果您对——矩阵分块法
相抵;相似;合同;等价类 1 预备知识 2 矩阵的等价关系 2.1 矩阵的相抵关系 定义2.1:如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B,那么称A与B是相抵的
因为在定义的时候并不知道AB=E就意味着BA=E,也就是说矩阵的乘法运算一般不具有交换性,因此AB和BA不一定相等。所以在定义逆矩阵的时候就要求AB和BA都是E
我觉得应该是相似对角化吧,具体的步骤是:1,求出一个矩阵的全部互异的特征值a1,a2……2,对每个特征值,求特征矩阵a1I-A的秩,判断每个特征值的几何重数q=
所以算出A的广义逆A+,然后验证上述条件即可。