复变函数解析的充要条件研究论文

复函数是否可导的充要条件：其实部和虚部u（x，y）v(x,y)在（x，y）处全微分存在并且Ux=Vy，Uy=-Vx，这样其导数就可以导出：f’（z）=Ux（x,y）+iVx(x,y)，也是一个复变函数。

复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数婡冄头。复筿变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。复数起源于求代数方程的根。

复变函数起源

复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

如果函数在点z的某个邻域内处处可导, 则称在点z解析。如果在 区域D内的每一点都解析, 则称是D内的解析函数, 或称在D内解析。解析函数也叫全纯函数或正则函数。复变函数的定义域一般是整个复平面，也就是整个平面上。所以要让复变函数可导，需要它从各个方向过去都可导。而单变量实函数的定义域是一根实轴，只要从左右两个方向可导就可以：这是它们的区别！解析函数的解析区域边界点（如果存在）称为其奇点。要寻找函数可导的充要条件，首先会想到如果其实部虚部分别可导是否足够。很遗憾，它们不等价：反例：是否可导？对平面上的任意一点z, 有，可以看到结果跟趋近方向有关：当水平趋近时，，结果是1；竖向趋近时是-1，所以处处不可导。但它的实部虚部都可导。柯西黎曼方程如果可导，设在点处可导，即，令，，其中，。则。当从实轴趋向0时，，当从虚轴轴趋向0时，，因为可导，所以上面两个结果的实部虚部分别相等，即柯西黎曼方程这个就是柯西黎曼方程，简写C-R方程。反过来：是否满足柯西黎曼方程就可导呢？估计大家能猜出来：不行：反例：函数在z=0处是否可导？可以证明，在原点处的两个偏导都是0，所以满足C-R方程。但是0点的导数并不存在，可以令，则，所以趋向零点的方向角度不同结果可能就不同，因此不可导。解析函数的充要条件上面已经看到函数可导的必要条件是实部虚部都可微（即偏导存在且连续）且符合C-R方程。这个也是它的充分条件！设函数，假设其在点处实部和虚部都可导，且满足。根据二元函数微分定义，可以证明其导数存在。