奈奎斯特发表的论文

曼乇斯特不太了解香农定理：香农定理则描述了有限带宽;有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽;信号噪声功率比之间的关系. 在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，数据传输率Rmax与信道带宽B，信噪比S/N关系为： Rmax=B*Log⒉（1+S/N） 在信号处理和信息理论的相关领域中，通过研究信号在经过一段距离后如何衰减以及一个给定信号能加载多少数据后得到了一个著名的公式，叫做香农（Shannon）定理。它以比特每秒（bps）的形式给出一个链路速度的上限，表示为链路信噪比的一个函数，链路信噪比用分贝（dB）衡量。因此我们可以用香农定理来检测电话线的数据速率。 香农定理由如下的公式给出: C=Blog2(1＋S/N) 其中C是可得到的链路速度，B是链路的带宽，S是平均信号功率,N是平均噪声功率，信噪比（S/N）通常用分贝（dB）表示，分贝数=10×log10（S/N）。 香农，1816年生于美国密执安州的加洛德。在大学中他就表现出了对数理问题的高度敏感。他的硕士论文就是关于布尔代数在逻辑开关理论中的应用。后来，他就职于贝尔电话研究所。在这个世界上最大的通信公司（美国电话电报公司）的研究基地里，他受着前辈的工作的启示，其中最具代表性的是《贝尔系统技术杂志》上所披露的奈奎斯特的《影响电报速率的一些因素》和哈特莱的《信息的传输》。正是他们最早研究了通信系统的信息传输能力，第一次提出了信息量的概念，并试图用教学公式予以描述。而香衣则创造性地继承了他们的事业，在信息论的领域中钻研了8年之久，终于在1948年也在《贝尔系统技术杂志》上发表了244页的长篇论著，这就是上面提到的那篇《通信的数学理论》。次年，他又在同一杂志上发表了另一篇名著《噪声下的通信》。在这两篇文章中，他解决了过去许多悬而未决的问题：经典地阐明了通信的基本问题，提出了通信系统的模型，给出了信息量的数学表达式，解决了信道容量、信源统计特性、信源编码、信道编码等有关精确地传送通信符号的基本技术问题。两篇文章成了现在信息论的寞基著作。

连续信号（通常称作“模拟信号”）与离散信号（通常称作“数字信号”）之间的一个基本桥梁。它确定了信号带宽的上限，或能捕获连续信号的所有信息的离散采样信号所允许的采样频率的下限。

严格地说，定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数，即频率在有限区域以外为零。离散时间傅里叶变换（泊松求和公式的一种形式）提供了实际信号的解析延拓，但只能近似该条件。

直观上我们希望，当把连续函数化为采样值（叫做“样本”）的离散序列并插值到连续函数中，结果的保真度取决于原始采样的密度（或采样率）。

采样定理介绍了对带宽限制的函数类型来说保真度足够完整的采样率的概念；在采样过程中"信息"实际没有损失。定理用函数的带宽来表示采样率。定理也导出了一个数学上理想的原连续信号的重构公式。

该定理没有排除一些并不满足采样率准则的特殊情况下完整重构的可能性。（参见下文非基带信号采样，以及压缩感知。）

非均匀采样

香农的采样定理可以延伸到非均匀采样，也就是采样的时间间隔非一定值。非均匀采样的采样定理指出针对band-limited的信号，只要平均采样频率满足奈奎斯特条件，就可以从采样信号完整重建原始信号。因此虽然均匀采样在信号重建的算法上比较简单，但这不是完整重建的必要条件。

非基带及非均匀采样的泛用理论是在1967年由亨利·蓝道提出。简单的说，蓝道证明了平均采样率至少需要是信号占据带宽的二倍，但前提是已知信号的频谱及其占据的带宽。

在1990年代末期，此研究已延伸到信号占据带宽的数量已知，但实际在频谱上位置未知的情形。在2000年代已利用压缩感知发展了一个完整的理论。此理论用信号处理的语言写成，在2009年的论文中发表。

论文中证明，若频率的位置未知，则采样率需至少为奈奎斯特准则的二倍。换句话说，因为不知道光学频谱的位置，需要将采样率乘二为代价。注意此最小采样率的要求不一定保证其数值稳定性。