中学数学中的抛物线问题研究论文

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。一、进一步深入理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射�0�6:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为�0�6(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：类型I：已知�0�6(x)= 2x2+x+2，求�0�6(x+1)这里不能把�0�6(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。类型Ⅱ：设�0�6(x+1)=x2－4x+1,求�0�6(x)这个问题理解为，已知对应法则�0�6下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。�0�6(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得�0�6(x)=x2－6x+6(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。 令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而�0�6(x)= x2－6x+6二、二次函数的单调性，最值与图象。在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－]及[－，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。（1）y=x2+2|x－1|－1 （2）y=|x2－1| （3）= x2+2|x|－1这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。类型Ⅳ设�0�6(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。求：g(t)并画出 y=g(t)的图象解：�0�6(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2当t＞1时，g(t)=�0�6(t)=t2－2t－1当t＜0时，g(t)=�0�6(t+1)=t2－2 t2－2, (t<0) g(t)= -2，(0≤t≤1) t2－2t－1, (t>1)首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：类型Ⅴ：设二次函数�0�6(x)=ax2+bx+c(a>0)方程�0�6(x)－x=0的两个根x1，x2满足00,又a＞0,因此�0�6(x) ＞0,即�0�6(x)-x＞0.至此,证得x<�0�6(x)根据韦达定理,有 x1x2= ∵ 0＜x1＜x2<，c=ax1x2�0�6(0)，所以当x∈(0,x1)时�0�6(x)<�0�6(x1)=x1，即x<�0�6(x)0）函数�0�6(x)的图象的对称轴为直线x=－ ,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－，∵x2－<0，∴x0=－=（x1+x2－）<,即x0=。二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。

这东西都写进高中课本了，还用写论文？

教学的对象是学生，当我们问“教学的结果是什么”的时候，其实是在问“学生经历数学教学之后会变成什么样子”。这个问题在课程标准中可以找到答案。课程标准从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个方面描述了一大堆，其实简单地说，教学的结果，就是学生能够用数学的“行业术语”，透过事物的表面解释其背后的数量关系和空间结构，同时借助数学的“行业规则”进行处理，让自己能够更加简单地认识和改变世界。举个例子，你去逛超市，买了20块钱的排骨、35块钱的纸巾和65块钱的饼干，逛完后你去买单，你会怎么付钱呢？其实每个价格本质上是一个数字，你要付的钱，就是20、35和65相加，也就是说，你只需要直接付120块就好，不必分别找出20块、35块和65块来买单。数学中的加法，让你可以把买单这件事情变得更加简单。对学生来说，初中三年的数学学习，算是一个不小的工程，但细究下来，其实学生要做的，无非是打磨教材中的每一个数学知识点，而我们要做的，就是助他们一臂之力。理想的结果，是我们所教的每一个学生，都能掌握三年来要学的所有数学知识点。这个显然只是理想，我们在实际教学中，需要有所取舍。一个是教学内容的取舍。既能把每个知识点学完，又能把每个知识点学好，这样的学生肯定有，但不会多，如果过半的学生能够做到，那说明知识点要么不够多，要么不够深。解决的一个办法，就是对知识点进行筛选，先学好一部分，剩下的能学好就学，学不好就学完，学不完就只能这样了。课程标准也很体贴，它会告诉我们哪些知识点需要学生掌握，哪些只需要学生了解，还有的甚至只要学生感受一下就行！课程标准对知识点的要求，实际上已经帮我们做了一轮筛选。可是，如果我们的学生基础实在不行，很有可能连课程标准选出来的核心知识点都学不完，这时，我们就有必要进行第二轮筛选。这意味着我们需要做两三件事：第一件是评估学生的实力水平，了解学生的“底”在哪里；第二件是理清知识点之间的联系，了解知识点的“底”在哪里；第三件是学生学习的底层机制，了解知识点是怎么被学到手的。除了教学内容以外，另一个需要取舍的，是对学生的关注。全面跟进一个学生的学习，或许不是难事；可是如果手握两个四五十人的班级，要全面跟进每一个学生的学习，就有点为难我们了，因为每个学生的基础和特点都不尽相同。解决的一个办法，就是分层教学。把一个班级的学生，按照数学成绩水平的高低，分成优秀层、及格层和后进层三个层次。对同一个层次的学生，采取同一个教学策略，必要时做些微调。优秀层的策略是“超前学习”，后进层的策略是“做有用的事情”，而及格层是我们核心关注的焦点，它的策略是“脚踏实地”。比如课上布置了一个任务，优秀层的学生可能很快就做完了，我会立马批改，然后让他们寻找更难的题目去做；后进层的学生可能会对着题目发呆，我会时不时地提醒他们找到有用的事情，或者直接告诉他们该做什么；及格层的学生可能起伏不定，我会留心观察他们犯下的错误，分析背后的原因，寻找纠正的好办法。由此看来，教学最好的结果，很难用一个固定的终点来衡量，更好的选择，是为学生的学习设置一个进度条，所谓最好的结果，其实就是有更多的学生在自己原有的基础上，实现尽可能多的学习进度。