信号检测算法分析论文

参考方法高精度正弦波频率估计综合方法 以下分析了正弦波的DFT系数的结构，通过DFT系数的相位信息，可以对正弦波的频率作精确的估计.该算法与Rife的算法性能互补，结合这两种算法，得到了一种综合算法.计算机模拟结果显示，本算法精度高，而增加的计算量并不大，并且容易硬件实现.关键词:频率估计，DFT系数，相应信息A Fast and Accurate Single Frequency Estimator Synthetic ApproachLiu Yu(Dept.of Electronic Engineering,Nanjing Unio.of Aeronantics & Astronautics,Nanjing 210016)Abstract:The structure of the DFT coefficients of a sine wave is analysed.A new accurate frequency estimator for a single sinusoid is proposed by using the information obtained from the phase of the DFT coefficients.Its performance is complemental with Rife algorithm.So that synthetic approach is proposed.The simulation results indicate that this approach is much better than the DFT and some other fast methods at the cost of double FFT which is far less than the MLE in computer time.Key words:Frequency estimation,DFT coefficient,Phase information一、引言对被噪声污染的正弦波信号进行频率估计是一个十分重要的课题，它在通讯、雷达、声纳等领域有应用价值，尤其在电子侦察脉内信号处理中扮演了极其重要的角色.文献［2］给出了在高斯白噪声中对正弦波信号频率进行最大似然估计(MLE)算法，估计误差的方差达到了克拉美-罗限，因此是最优估计.由于MLE算法计算量大，难以实时进行处理.在一些对频率估计精度要求不高的场合，往往采用DFT对频率进行粗估计［3］.对于短时宽、强干扰正弦波信号进行快速、精确的频率估计，引起了信号处理界的重视.文献［5］提出了线性预测频率估计算法，文献［4］提出了相位平均算法，以及许多特征分解算法.本文对FFT算法为基础，对正弦波的DFT系数做了深入的研究，分别利用两根谱线或最大谱线的相位信息，得到了两种估计方法.并分析了它们的利弊，最后得到一种快速、精确的频率估计算法.本算法只需进行两次FFT，因而计算量比最大似然估计小得多，然而估计的误差却比DFT小得多，计算机模拟的结果将显示它的优良性能.二、正弦波的DFT系数正弦波：s(t)=acos(2πf0t+Φ0),(0tT)其中a,f0,Φ0分别为振幅、频率和初相.为了分析方便，我们引入s(t)的解析信号g(t)，g(t)=a.ej(2πf0t+Φ0)(1)对g(t)进行采样g(n.Δt)=a.ej(2πf0nΔt+Φ0)(2)其中，Δt为采样间隔.设T=N.Δt,则{gn},n=1,2…,N-1是g(t)的一个离散采样序列，它的DFT系数为ω0=2πf0，是角频率.上式可写成以下形式由式(5)可知vk包含了f0的信息.现研究如何从DFT系数式(6)中精确地提取被估计正弦波的频率.三、双线幅度法(Rife方法)如果Gk0是{gn}的DFT的最大值谱线，文献［2］给出了正弦波频率f0的近似表达式.其中，r=±1，当|Gk0+1||Gk0-1|时，r=-1，当|Gk0+1||Gk0-1|时，r=1式(7)是正弦波信号的频率估计表达式，当N很大时，精度很高，它利用了g(t)的两根谱线，因此提取了关于频率的更多信息.式(7)是在没有噪声的情况下推导得到的.当存在噪声时接收信号x(t)=g(t)+n(t).因此{xn}的DFT系数由两部分组成：Xk=Gk+NkNk是噪声序列的DFT系数，显然它是随机变量.于是可能出现下述情况：但由于噪声的影响，可能导致|Xk0-1||Xk0+1|，那么由式(7)定义的0将出现在k0fs/N的左边，即0＜k0fx/N，造成估计误差比仅用DFT的粗略估计还要大.计算机模拟的结果表明，在适度的信噪比条件下，当f0离最大谱线的位置k0fs/N不十分接近时，由式(7)定义的0，性能是很好的，频率估计的误差远远小于DFT算法.反之，当信噪比较低而且f0十分接近k0fs/N时，估计的误差将可能大于DFT算法.我们将称式(7)定义的正弦波频率估计算法为Rife算法，也称为双线幅度法.四、单线相位法被估计频率f0十分接近k0fs/N,意味着信号g(t)在频率k0fs/N上的投影远大于在其它离散频率上的投影，也即|Gk0||Gk0+β|,(β=±1，±2，……)在这种情况下能否只用一根最大谱线就能得到f0的精确估计呢?本节将给出有效的方法.式(6)给出了复正弦波的DFT系数表达式，如果初相Φ0=0，那么tg［(N-1)vk(Δt/2)］=-Im(Gk)/Re(Gk)=α(9)式中Im(.)、Re(.)分别表示取实部和虚部.所以如有噪声存在，那么频率的估计值为：上式仅用一根谱线就得到了频率的精确估计，与常规的方法不同的是，我们利用了DFT系数的相位信息.但这仅仅适用于初相为零或已知初相的情况.在实际的应用场合，初相不可能是已知的，于是我们设法去掉初相.对信号g(t)取两个不同长度的序列，它们为：{gn}n=0,1,2,…,N-1,{gn}m=0,1,2,…,M-1,M＜N.采样间隔都等于Δt.对{gm}和{gn}分别做DFT，则有：设k0，k1分别为式(13)、(14)的最大谱线位置，那么：v0k0=2πk0/(NΔt-ω0)(15)v0k1=2πk1/(MΔt-ω0)(16)tg［(N-1)v0k0Δt/(2-Φ0)］=-Im(0Gk0)/Re(0Gk0)=α0(17)tg［(M-1)v1k1Δt/(2-Φ0)］=-Im(1Gk1)/Re(1Gk1)=α1(18)(N-1)v0k0Δt/(2-Φ0)=tg-1α0(19)(M-1)v1k1Δt/(2-Φ0)=tg-1α1(20)［(N-1)v0k0-(M-1)v1k1］Δt/2=tg-1α0-tg-1α1=β(21)将式(15)、(16)定义的v0k0、V1k，代入上式，并经过整理可得:因为有噪声存在，将0Xk0、1Xk1代替式(17)、(18)中的0Gk0、1Gk1，便得到0.由于反正切函数是多值函数，在计算过程中只能取主值范围(-π,π)，因此可能存在相位模糊.但从式(22)可看到，如果一旦出现相位模糊，带来的频率估计误差Δ0为：|Δ0|=2/［(N-M)Δt］=2fs/(N-M)(23)由于|Δ0|至少大于两个DFT量化频率单位，所以很容易发现，并且容易纠正.五、频率估计综合算法从上两节的分析中，可以看到两种精确频率估计算法各有利弊，然而它们各自的缺陷却可以互相弥补.我们可通过智能化判断，在不同的频段采用不同的估计算法，使估计的整体性能提高.综合算法的步骤如下：先定义几种频率估计的信号：最终估计.步骤一：如果|00-02|fs/10N，则认为f0充分接近k0fs/N，取0e=02.步骤二：如果4fs/10N＜|00-02|fs/(N-M)，则认为f0充分接近(k0+1/2)fs/N，取0e=01.步骤三：如果fs/1-N＜|00-02|4fs/10N，则取0e=01+02/2.步骤四：如果|00-02|＞fs/(N-M)，则认为发生相位模糊，显然02不能再被使用，然后再判断如果fs/10N＜|00-01|，则取0e=01.步骤五：如果|00-01|＜fs/10N并且|00-02|＞fs/(N-M)，当00＞02，则0e=02+2fs/(N-M)，否则0e=02-2fs/(N-M).本算法在FFT的基础上，增加了少量的计算量，使频率估计精度比FFT提高了很多.计算机仿真的结果将显示算法的性能.六、计算机模拟的结果本节给出了上述几种算法的计算机模拟结果，并与Kay的算法进行了比较.设接收信号为：x(t)=acos(2πf0t+Φ0)+n(t)n(t)是零均值、方差为σ2的白高斯噪声过程，信噪比定义为：SNR=a2/2σ2.在仿真中，采样间隔Δt=5×10-9s，样本数为N，取M=3N/4.因此DFT的量化频率Δf=1/N.用DFT作频率粗略估计，估计的平均误差等于Δf/4，均方根误差为Δf/23.设f1为DFT的某个量化频率，现取f1=fs/4=50MHz，从f1到f1+Δf/2取11个离散频率fi=f1+(i-1)Δf/20,(i=1,2,…,11)，对频率为fi的正弦波，按上述的三种方法进行频率估计.对fi进行100次Monte Caro模拟，对模拟的结果，计算各种算法的估计平均值、均方根误差和平均绝对误差.最后再对各种算法在上述的11个离散频率上的估计误差，计算它们的总体平均估计误差.由于篇幅限制，表1中仅列出i=1、3、5、7、9、11，6个离散频率上的有关数据.表1被估频率(MHz)综合估计算法 双线幅度法 单线相位法mean(MHz) RMS(kHz) mae(kHz) mean(MHz) RMS(kHz) mae(kHz) mean(MHz) RMS(kHz) mae(kHz)50.000 50.001 15 13 49.995 38 36 50.001 15 1350.078 50.079 18 14 50.034 92 61 50.079 18 1450.156 50.154 22 14 50.157 34 18 50.157 18 1450.234 50.234 13 10 50.235 14 12 50.235 20 1550.312 50.312 13 10 50.312 13 10 44.061 6251 625150.391 50.387 14 10 50.387 14 10 51.701 3903 2452平均误差 16.636 12.364 36.455 25.727 1650 1409表：N=256,SNR=6dB,Φ0=2，作100次Monte Caro模拟表1中mean:模拟的平均值，RMS：均方根误差，mae：平均绝对误差表1中的数据表明，当初相Φ0较大，而被估计频率又接近两相邻离散频率的中点时，单线相位法产生了相位模糊，但本算法成功地解决了这个问题，综合算法仍保持了良好的性能.从分析和仿真的结果可以看到双线幅度法与单线相位法确实性能互补.我们的综合算法在所有的频率区域性能最稳定，因而平均误差最小.从表中的数据可以看到综合算法的平均均方根误差不到相应的DFT估计的10%，略小于克拉美-罗限的两倍.而本算法所需的计算量仅为两次FFT，比最大似然估计少得多.本算法比Kay的相位平均法性能好得多，Kay的算法需要较高的门限信噪比，且信号必须是严格的复信号，如按常规的方法将实信号变换成相应的解析信号，然后再用Kay的算法性能会下降许多.至于Tretter的线性预测算法性能更差.七、结论由于利用了DFT系数的相位信息，得到了被估计正弦波的频率的较精确估计的算法——单线相位法，与双线幅度法相比，它们的优劣在不同的频率区域中恰好互补，于是提出了综合的算法.计算机模拟的结果表明，这种综合算法在所有的频率区域保持了稳定的、较好的性能.本算法所需的计算量为两次FFT，大大低于最大似然估计算法，而均方根误差小于两倍的克拉美-罗限，比DFT粗略估计性能好得多.该算法易于硬件实现，对信号进行实时处理，因此有着广泛的应用前景.*航空基金资助课题作者简介:刘渝1945年出生，1968年毕业于中国科技大学，1981年在该校获硕士学位，同年到南京航空航天大学电子工程系工作.现从事信号检测、阵列信号处理、现代谱估计和电子智能等领域工作，曾发表论文十余篇作者单位:南京航空航天大学电子工程系，南京 210016参考文献［1］D.C.Rife,R.R.Boorstyn.Single-tone parameter estimation from discrete-time observation.IEEE Trans.Inform.Theory,1974,IT-20(5):591～598［2］D.C.Rife,G.A.Vincent.Use of the discrete Fourier transform in the measurement of frequencies and levels of tones.Bell Syst.Tech.J.,1970,49:197～228［3］L.C.Palmer.Coarse frequency estiamtion using the discrete Fourier transform.IEEE Trans.Inform.Thoery,1974,IT-20(1):104～109［4］S.Kay.A fast and accurate single frequency estimator.IEEE Trans.1989,ASSP-37(12):1987～1990［5］S.A.Tretter.Estimation the frequency of a noisy sinusoid by linear regression.IEEE Trans.Inform.Thoery,1985,IT-31(6):832～835希望对您有帮助