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数学建模中的最优化理论探讨

发布时间:2015-12-15 10:55

摘 要:自从1946年世界上第一台电子数字计算机诞生以来,计算机技术便以一种势不可挡的速度开始发展,与之伴随的是数学的广泛应用,不仅在工程技术、自然科学等等领域,数学的应用发挥着无与伦比的重要作用,并且在广度和深度上还渗透到了新的领域中,如医学、地质、交通灯、经济、生物、环境、人口、金融等等。因而说,在当代高新技术中,数学技术已经成为一个不可替代的重要组成部分。在本文中,笔者对最优化的理论在求解数学模型中的应用做了简要的探讨。

关键词:最优化理论;数学;建模
  一、在体现数学应用的方式中,数学建模是不可忽视的一种
  所谓数学建模,指的是以数学语言为工具,对实际现象进行描述的过程。在这一过程中,要以“建”为中心,使学生的创造性思维在“建”的过程中被激发出来。可以建立不同的实际模型来对同一个问题进行解决,从而可以得到不同的“最优解”,所以说,模型的独特之处是建立模型的关键,在数学模型中没有最好,只有更好。
  以下是数学模型建立的大致步骤:
  第一、模型准备。对问题的实际背景进行了解,使建模的目的得到明确,从而使必要的数据资料被收集、掌握到。
  第二、模型假设。提出假设,这些假设必须与客观实际相符合。
  第三、模型建立。进行相应的数学模型的建立,以实际问题的特征为依据,决定使用的数学结构、数学工具的类型。通常,以能够达到预期的目的为前提,选择的越简单的数学工具进行建模越好。
  第四、模型求解。模型建立者需要对上述过程中获取的数据资料进行利用,计算模型中的参数,对模型进行求解。在必要时,可以使用计算机为辅助工具。
  第五、模型分析、检验。对模型的结果在数学分析的基础上与实际情形进行比较,从而对模型的合理性、准确性、适用性进行验证。如果吻合,则进行解释、应用,如果不吻合,则修改、重建。
  现实中的问题是错综复杂的,必然的因果关系与偶然的因果关系都存在其中,所以,我们必须将主要原因从杂乱无章的现象中寻找出来,对变量进行确定,并使变量之间的内在联系显现出来。
  二、以最优化理论看待数学建模
  数学建模的关键在于一个“建”字,但一旦数学模型建立起来之后,对于它的求解就显得很重要了。一般的数学模型所涉及的问题都是一个最优化问题,即在一些约束的条件下,如何使得模型的解达到最优?一般的数学模型中抽象出来的最优化问题具有如下的形式:
  min f(X)  

s. t. AX≥b.

  这种问题根据目标函数和约束函数的特点可分为很多类,都是运筹学的分支,如线性规划、非线性规划、图论、目标规划、动态规划问题等等。无论怎样,如果一个数学模型不能用初等的数学理论解决,也不能用常微分方程理论解决的话,那它一定就是用最优化的理论来解决。
  最优化理论广泛地应用于管理科学、科学技术和生活实践中,而线性规划问题因为有普遍适用的单纯形法,故而其理论和应用都非常完善。所以目前研究较多的当属非线性规划理论和其它的优化问题。类似于高等数学中一切非线性的函数都尽量对它进行局部线性化的思想使问题简单化,非线性规划问题求解的总体思想也是如此。尽量将非线性规划问题局部线性化来解决。
下面我们再看一个用匈牙利算法求解指派问题的例子。
  例:有甲、乙、丙、丁四人完成A、B、C、D四项任务,他们完成各项任务的时间见右表,问应如何安排,使所需总时间最少?

 

A

B

C

D

2

15

13

4

10

4

14

15

9

14

16

13

7

8

11

9

  这类问题一建立模型后,我们应清楚地知道我们遇到了一个指派问题,而求解指派问题的最简单的方法就是匈牙利算法。否则,若不能认识到这一点,用一般的方法建立模型求解,可能会用到求解整数规划的分枝定界法或是求解0-1规划的隐枚举法,那都将是很复杂的。下面我们用匈牙利算法求解:

  这样很快得到最优的安排是甲→D、乙→B、丙→A、丁→C。
  以上通过两个简单的例子,我们讨论了求解数学模型的简单方法。数学建模的“建”完成之后,关键一步就是模型的求解,而最优化理论的掌握程度,是否具有厚、博、精的优化理论知识对能否完整地求解此模型起到了非常重要的作用。
  综上所述,在数学建模和最优化理论之间,二者是相辅相成的关系。生活和实践是数学模型的源泉,在实际生活中,模型将会随着层见叠出的问题而越来越庞大、越来越复杂,因而,最优化理论的发展会不断地在模型的建立过程中挑战、发展。从另外一个角度看,在这个不断得到丰富、完善的最优化理论的影响下,数学模型的求解也会得到不断地促进而越来越优化,为实际问题的发展带来突破性。
参考文献:
[1] 高德宝:数学模型在最优化方法中的应用综述 [J]. 牡丹江教育学院学报,2008,(04) .
[2] 周义仓:数学建摸实验 [M].西安:西安交通大学出版社
[3] 王琼华,王刚:指派问题数学建模的匈牙利解法 [J] 昆明冶金高等专科学校学报,2006(05)
[4] 耿朝霞:数学建模法及应用 [J]. 成才之路,2008,(03) .

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