基于灰色马尔科夫模型的传染病预测

摘　要：对于传染病有效的预防和控制，一直以来就是卫生管理的重点。针对于传染性疾病发病不确定的特点，本文有效的将灰色模型和马尔科夫链融合在一起，根据GM（1，1）预测结果，利用马尔科夫链构建偏差的状态转移矩阵，对原来的灰色模型进行修正，有效的克服了数据波动大对于预测精度的不良影响，具有较好的预测效果。

关键词：灰色模型；马尔科夫模型；传染病预测

　前言
　　一直以来传染性疾病严重危害着人类的健康，对于传染性疾病的预测和预防是控制传染病的有效途径，当前社会各界对于疾病的预测进行了大量研究，对于疾病的预测具有较多的方法，而各种方法之间具有各自的优点和缺点。当前主要的预测方法有：马儿科夫模型，灰色模型，余弦模型，微分方程模型等。其中微分方程模型是一种较为简单，封闭的模型，余弦模型是一种利用周期变化来对事件进行预测的模型，针对该模型周期性变化的特点，它常常常用来研究传染病的季节变化规律。马儿科夫模型则是根据状态转移概率矩阵来对未来某一时间的状况进行预测，它是一种区间预测。灰色模型最常用的是一阶一元GM(1,1)来进行预测，其基本思路是对事件序列整理之后构造白化方程，对一阶微分方程求解后得到预测结果。以上几种方法都有自身的特点和适用区域。张芳等[1]在分析货运价格的波动特征的基础上,认证运价指数符合马尔柯夫过程的条件，并利用马尔柯夫链预测对2008年7月~10月的指数进行区间预测,其实际值基本落入预测区间。谢劲心[2]利用余弦模型分析法对哈尔滨铁路局1992～1 996年度流行性暇腺炎发病季节特征进行分析，通过实验证明具有较好的预测效果。从而检验了马尔柯夫链预测方法的可靠性。王艳玲将灰色马尔可夫预测模型应用在工业二氧化碳排放量中的预测。实验证明，该法不但预测结果更可靠，而且能够对工业二氧化碳排放量的发展趋势进行宏观的把握，有利于决策者的决策行为。。，
　　1灰色模型
　　灰色系统理论(Grey System Theory)于1982年邓聚龙教授提出，引起了国内外学者的重视，并在各个领域得到了广泛的应用。“灰色”指的就是介于黑与白之间,即部分信息已知,部分信息未知。如今灰色系统模型应用领域愈发广泛。在流行病领域预测方面主要应用一阶一元灰色预测方法,即GM（1,1）。
　　对于一般GM（1，1）预测方法，它的运算过程如下所示[31]~[33]：
（1） 获取原始先验数列 ，其中t为t时刻的原始数列。
（2） 对该序列进行累加，经过累加后序列变为了有序数列。

（3） 对累加之后的数列求均值 。
（4） 根据以上各式建立GM（1，1）模型.,将该模型便是成为白化方程:,其中的参数利用最小二乘法进行估计

,
（5） 最后将获取得到的一阶微分方程求解                    .
　　根据公式 ,即可求出所要求的预测值
　　但是基于灰色模型的一阶一元模型同时具有其的局限性，根据以上的分析可以看出利用该方法预测，对于先验数据波动如果不是太大那么它得到的预测结果也是想对较为精确地，但是一旦作为先验数据构成的数据列具有较大的波动，这个时候GM(1，1)它本所举有的局限性也就出现了。
　　2马尔科夫模型
　　马尔科夫模型自20世纪俄国数学家Markov提出以来得到了广泛的应用[5].态随机数学模型，通过对随机过程在前期不同时刻状态之间的变化规律，进而构建状态转移矩阵，利用状态转移矩阵来推测将来各个时刻事件所处的状态。相对于灰色模型而言，马尔科夫Markov模型具有无后效性，所谓的无后效性是指将来的预测结果只于当前的状态数据有关，而并不依赖于前期的数据，因而当数据的随机波动性较大时，对于马尔科夫模型的影响是较小的。
　　利用马尔科夫模型链进行预测，实际上就是利用的状态转移概率矩阵，根据当前数据预测后期数据。所以预测的第一步便是状态的划分。
2.1状态划分
　　对于任意一个符合n阶马尔可夫非平稳随机序列将 上 述 序列在数据—时间平面作曲线，可以将上述序列划分若干个区间，即若干个状态。如:  ，则从区间一进人区间二的样本数与区间一内样本量之比即为从区间一转入区间二的转移概率，或者称为这两个状态间的状态转移概率P，它即表明如果在时刻t，当前处于状态一，在t+1时刻它将以概率P处于状态二。根据前面的讨论我们知道马尔科夫链的预测其实就是利用状态转移概率来预测t+1时刻的状态，所以当对状态划分后，下一步就好构建状态转移矩阵。
2.2状态转移概率矩阵
　　一个N阶的马尔科夫链实际上是有n个状态集合和一个状态转移矩阵构成的。状态转移矩阵可以由下式计算：

　　其中是状态Ei经过m次转移到Ej的概率，为从状态Ei经过m次转移到Ej的次数，为状态Ei出现的频率。针对于传染病的预测而言，一般以年为预测单位，实际上指从一种状态经过m年转移到另一种状态的次数，为该传染病状态在统计数据中出现的总数。根据上式可以确状态转移矩阵如下：

　　设系统初始时刻t = 0 的卫生病例数据为E(0),则后续传染病状况的预测为：

　　马尔科夫模型在预测的过程中可以抵抗数据波动性的变化所造成的影响，但它要求必须具有足够长的时间序列资料才能保证处理结果的可靠性，并且马尔科夫模型在短期预测中的准确度很高，而对长期预测效果欠佳[6]。
　　2灰色马尔科夫模型
　　根据以上马尔科夫模型和灰色预测模型的基本知识，我们发现单纯的使用任何一种预测方法很难取得较好的预测效果.马尔科夫模型是利用离散的时间序列进行预测,即使对于先验数据中波动较大的情况,它仍然仍然能够提供较好的预测结果,它是一种区间预测,因为在预测过程中它依靠状态转移矩阵来获取预测值,状态转移矩阵同时也是根据数据库中数据的变化而不断的发生改变,通常是最近一段时间的数据,故而使得马尔科夫预测模型对于短期的预测较为准确,对于长期的预测过程效果欠佳.
　　因此根据以上的分析,本文经过大量的理论研究和实验结果证明利用灰色马尔科夫模型具有较好的预测效果。,我们利用灰色模型和马尔科夫模型的综合方法,即灰色马尔科夫模型来进行突发性公共卫生时间的预测，方法步骤如下所示：
（1） 根据第一节中灰色模型建模公式构建GM(1,1)
（2） 利用上述灰色模型的预测结果，进行状态划分。以曲线为基准，在其上下两侧作m条与之平行的曲线，划分出与曲线平行的若干区域，每一区域构成一个状态。若以Qi表示第i种状态，则：

（3） 根据状态转移矩阵计算公式求的 转移概率矩阵。
（4） 利用转移矩阵确定预测值。
　　3小结
　　本文将灰色模型和马尔科夫模型有效的结合在了一起，过该模型，能够较为准确的预测出某一传染性疾病在某一时刻时发病的概率，灰色马尔科夫模型对于灰色模型和马尔科夫模型进行了扬长避短，解决了当出现较大随机状况时数据波动所造成的预测欠准确的确定，同时又兼顾了灰色模型本身的特点，使得整个的预测过程不再需要较长的时间序列资料，只要具有四个数据就可以完成整个的预测过程，这对于一些突发性的公共卫生事件显得尤为重要，对于没有较多先例，发生突然的卫生疫情该模型仍然能够有着较好的预测结果，对于卫生疫情的防治能够为管理人员提供辅助决策的作用。
参考文献：
[1] 张芳,方磊。公路货运价格预测的马尔科夫模型分析[J]。交通科技与经济.2009.4
[2] 谢劲心.利用余弦模型探讨细菌性痢疾发病季节特征[J].流行病学研究调查.2003.29(6)
[3] 王艳玲灰色马尔可夫预测模型在工业CO2排放量中的应用[J].重庆师范大学学报（自然科学版）2008.25(2)
[4] 邓聚龙1 灰色系统基本方法［M］.河南大学出版社，1987
[5] 付长贺,.邓更.马尔科夫链在传染病预测中的应用[J].沈阳师范大学学报.2009,27(1)
[6] 王丙刚,曲 波,郭海强.传染病预测的数学模型研究[J]中国卫生统计.2007,24(5)