论微积分在经济分析中的应用
发布时间：2015-07-06 09:34
摘要：微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，计算边际成本、边际收入、边际利润并解释其经济意义,寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数q=f（p）在点p处可导（其中q为需求量，p为商品价格），则其边际函数q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数q=q(p)可导（其中q为供给量，p为商品价格），则其边际函数q=q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数c=c(q)=c0+c1(q)；平均成本函数=(q)=c(q)q；边际成本函数c’=c’(q)．c’(q0)称为当产量为q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减c’’(q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数r=r(q)；平均收益函数=(q)；边际收益函数r’=r’(q)．
r’(q0)称为当商品销售量为q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减r’(q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数l=l(q)=r(q)-c(q);平均利润函数;=(q)边际利润函数l’=l’(q)=r’(q)-c’(q).l’(q0)称为当产量为q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减l’(q0)个单位。
例1某企业每月生产q（吨）产品的总成本c（千元）是产量q的函数，c(q)=q2-10q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产q吨产品的总收入函数为：
r（q）=20q
l（q）=r（q）-c（q）=20q-（q2-1q+20）
=-q2+30q-20
l’(q)=(-q2+30q-20)’=-2q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
l’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
l’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
l’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量δyy=f(x+δx)-f(x)y与自变量的相对改变量δxx之比，当δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为eyex•eyex=limδx→0
δyyδxx=limδx→0δyδx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值ef(x0)ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。eexf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变eexf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数q=f（p）(或p=p（q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数q=f(p)（或p=p(q)）为单调减少函数，δp与δq异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)p=3,p=5,p=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当p=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当p=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1，说明当p=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益r是商品价格p与销售量q的乘积，即
r=pq=pf(p)
r’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为erep=r’(p).pr(p)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则erep>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则erep<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则erep=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(x)=c(x)x=mx2-nx+p，c’=2mx-n
令c’，得x=n2m，而c’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又c’(x)=3mx2-2nx+p，c’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-q1000（q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数c(q)=60000+20q
收益函数r(q)=pq=(60-q1000)q=60q-q21000
则利润函数l(q)=r(q)-c(q)=-q21000+40q-60000
l’(q)=-1500q+40,令ｌ’(q)=0得q=20000
∵l’’(q)=-1500<0∴q=2000时l最大，l（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本c=100+2x，其固定成本为c0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
c(x)=∫x0(100+2t)dt+c(0)=100x+x2+1000
总收益函数为r(x)=500x
总利润l(x)=r(x)-c(x)=400x-x2-1000，l’=400-2x，令l’=0，得x=200，因为l’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为l(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［ｍ］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.
［2］顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［ｊ］.职业圈，2007,（4）.
［3］李春萍.导数与积分在经济分析中的应用［ｊ］.商业视角，2007,（5）.
［4］褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用［ｊ］.枣庄学院学报，2007,（10）.
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数q=f（p）在点p处可导（其中q为需求量，p为商品价格），则其边际函数q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数q=q(p)可导（其中q为供给量，p为商品价格），则其边际函数q=q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数c=c(q)=c0+c1(q)；平均成本函数=(q)=c(q)q；边际成本函数c’=c’(q)．c’(q0)称为当产量为q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减c’’(q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数r=r(q)；平均收益函数=(q)；边际收益函数r’=r’(q)．
r’(q0)称为当商品销售量为q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减r’(q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数l=l(q)=r(q)-c(q);平均利润函数;=(q)边际利润函数l’=l’(q)=r’(q)-c’(q).l’(q0)称为当产量为q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减l’(q0)个单位。
例1某企业每月生产q（吨）产品的总成本c（千元）是产量q的函数，c(q)=q2-10q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产q吨产品的总收入函数为：
r（q）=20q
l（q）=r（q）-c（q）=20q-（q2-1q+20）
=-q2+30q-20
l’(q)=(-q2+30q-20)’=-2q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
l’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
l’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
l’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量δyy=f(x+δx)-f(x)y与自变量的相对改变量δxx之比，当δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为eyex•eyex=limδx→0
δyyδxx=limδx→0δyδx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值ef(x0)ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。eexf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变eexf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数q=f（p）(或p=p（q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数q=f(p)（或p=p(q)）为单调减少函数，δp与δq异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)p=3,p=5,p=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当p=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当p=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1，说明当p=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益r是商品价格p与销售量q的乘积，即
r=pq=pf(p)
r’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为erep=r’(p).pr(p)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则erep>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则erep<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则erep=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(x)=c(x)x=mx2-nx+p，c’=2mx-n
令c’，得x=n2m，而c’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又c’(x)=3mx2-2nx+p，c’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-q1000（q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数c(q)=60000+20q
收益函数r(q)=pq=(60-q1000)q=60q-q21000
则利润函数l(q)=r(q)-c(q)=-q21000+40q-60000
l’(q)=-1500q+40,令ｌ’(q)=0得q=20000
∵l’’(q)=-1500<0∴q=2000时l最大，l（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本c=100+2x，其固定成本为c0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
c(x)=∫x0(100+2t)dt+c(0)=100x+x2+1000
总收益函数为r(x)=500x
总利润l(x)=r(x)-c(x)=400x-x2-1000，l’=400-2x，令l’=0，得x=200，因为l’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为l(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［ｍ］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.
［2］顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［ｊ］.职业圈，2007,（4）.
［3］李春萍.导数与积分在经济分析中的应用［ｊ］.商业视角，2007,（5）.
［4］褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用［ｊ］.枣庄学院学报，2007,（10）.
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